劳动者在符合法定情形时，有权利要求劳动监察部门责令用人单位支付赔偿金。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位若存在违法解除或终止劳动合同等情形，劳动者有权要求用人单位支付赔偿金。同时，《劳动保障监察条例》赋予了劳动监察部门对用人单位遵守劳动保障法律、法规和规章的情况进行监督检查，并对违法行为进行查处的权力。

二、劳动监察部门的职责与权力

劳动监察部门在接到劳动者的投诉或举报后，会依法进行调查核实。若查实用人单位存在违法行为，如未依法支付赔偿金，劳动监察部门有权责令用人单位限期支付。若用人单位逾期不支付，劳动监察部门还可以根据相关规定，要求用人单位加付赔偿金，并可能采取其他行政处罚措施。

三、劳动者如何行使权利

1. 收集证据：劳动者应首先收集与用人单位存在劳动关系、用人单位存在违法行为（如违法解除劳动合同）以及应支付赔偿金的相关证据，如劳动合同、解除劳动合同通知书、工资单等。
2. 向劳动监察部门投诉：劳动者可以向用人单位所在地的劳动监察部门提交投诉材料，包括投诉书、证据材料等。投诉书应明确载明劳动者的基本信息、用人单位的基本信息、投诉请求和事实理由。
3. 配合调查：在劳动监察部门进行调查时，劳动者应积极配合，提供必要的协助和信息。
4. 申请强制执行：若劳动监察部门作出责令用人单位支付赔偿金的决定后，用人单位逾期不履行，劳动者可以向人民法院申请强制执行。

四、注意事项

1. 时效性：劳动者应注意投诉的时效性，一般应在知道或应当知道自己的权益受到侵害之日起一定期限内（如一年）向劳动监察部门投诉。
2. 证据充分性：劳动者在投诉时应确保提供的证据充分、确凿，以支持自己的投诉请求。
3. 法律程序：劳动者应了解并遵守相关的法律程序，如投诉、申请强制执行等，以确保自己的权益得到有效维护。

建议：若劳动者在要求劳动监察部门责令用人单位支付赔偿金的过程中遇到困难或问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。