结论前置：

1. 一般情况下，父亲无权单独决定将家产给其中一个孩子。
2. 若存在有效遗嘱，则需按照遗嘱内容分配家产。

详细分析：

首先，我们需要明确的是，在母亲去世后，家产（通常指的是夫妻共同财产中母亲的部分以及母亲的个人财产）的分配并非完全由父亲一人决定。这涉及到继承法的相关规定。

一、一般情况下家产的分配

在母亲去世后，如果没有留下遗嘱，那么她的遗产将按照法定继承来分配。根据《中华人民共和国民法典》中关于继承的规定，配偶、子女、父母都是第一顺序的继承人。这意味着，在母亲去世后，她的遗产（包括她在家产中的份额）应当由她的配偶（即父亲）、子女以及可能还在世的父母共同继承。

1. 配偶的继承权：父亲作为母亲的配偶，有权继承母亲遗产的一部分。
2. 子女的继承权：子女同样作为第一顺序的继承人，也有权继承母亲遗产的一部分。
3. 分配原则：在法定继承中，通常各继承人会平均分配遗产，但也可以协商不平均分配。然而，这种协商和分配应当是在所有继承人参与的情况下进行的，父亲无权单独决定将家产给其中一个孩子。

二、存在遗嘱的情况

如果母亲在去世前留下了有效的遗嘱，那么她的遗产将按照遗嘱的内容进行分配。遗嘱是遗嘱人生前在法律允许的范围内，按照法律规定的方式对其遗产或其他事务所作的个人处理，并于遗嘱人死亡时发生效力的法律行为。

1. 遗嘱的效力：有效的遗嘱具有法律约束力，遗嘱人死亡后，遗产应当按照遗嘱的内容进行分配。
2. 遗嘱的指定：如果母亲在遗嘱中明确指定了将她的遗产（包括家产中的份额）给某一个或某几个子女，那么父亲作为配偶或其他子女，应当尊重遗嘱的内容，不得擅自改变。

三、特殊情况下的处理

在某些特殊情况下，如子女存在法定丧失继承权的情形（如故意杀害被继承人、为争夺遗产而杀害其他继承人等），则该子女将丧失继承权。但这种情况并不改变父亲无权单独决定家产分配的基本原则。

建议与后续行动：

• 如果您对家产的分配有疑问或担忧，建议与父亲及其他继承人进行坦诚的沟通，尝试达成共识。
• 如果沟通无果或存在争议，您可以考虑通过法律途径解决，如向法院提起继承纠纷诉讼。
• 在整个过程中，保持冷静和理性，尊重法律和他人的权益。

最后，如果您在家产分配或其他婚姻家庭法律问题上还有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。我会尽我所能为您提供专业、全面的法律服务。