父亲去世后，母亲是否有权将家产赠予任何一个儿子，这主要取决于家产的权属情况以及是否存在有效的遗嘱。以下从不同情况为您详细分析：

一、家产权属为母亲个人财产

1. 情况说明：如果家产（如房产、存款等）是母亲的个人财产，例如婚前购买且登记在个人名下，或通过遗嘱等方式明确指定给母亲，那么母亲有权自主决定该家产的归属。
2. 处置方式：在这种情况下，母亲可以自由选择将家产赠予任何一个儿子，无需经过其他家庭成员的同意。

二、家产权属为父母共同财产

1. 情况说明：若家产是父母的夫妻共同财产，那么在父亲去世后，家产应首先进行析产。一半产权作为母亲的原有财产，另一半作为父亲的遗产进行继承。
2. 继承原则：
   • 有遗嘱的情况：如果父亲生前立有有效遗嘱，并明确指定了家产的继承人或处理方式，那么应按照遗嘱执行。如果遗嘱中指定由母亲继承全部或部分家产，母亲有权根据遗嘱内容处理这部分家产，包括赠予某一个儿子。
   • 无遗嘱的情况：在没有遗嘱的情况下，父亲的遗产部分（即家产的一半）将按照法定继承办理。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，配偶、子女、父母为第一顺序继承人，他们将共同继承父亲的遗产份额。此时，母亲仅能处置属于自己的那一半家产或按照法定继承分得的遗产份额。对于属于父亲遗产的部分，她不能单独决定其归属。

三、母亲处置权的限制与注意事项

1. 处置权限制：母亲作为家产的共有人或法定继承人之一，有权通过立遗嘱或其他合法方式处置属于自己的家产份额。但如果母亲希望将整套家产（包括属于父亲遗产的部分）指定给某个儿子，必须获得其他所有继承人的书面同意，否则无法单方面实现这一目的。
2. 注意事项：
   • 母亲在处理家产时应充分考虑家庭关系和子女的权益，避免因分配不均而引发家庭矛盾。
   • 母亲在行使处置权时，应确保相关法律文件（如遗嘱）符合法律规定的形式和要件，以保证其合法性和有效性。例如，遗嘱应采用书面形式，并由遗嘱人亲笔签名、注明日期等。

四、建议与行动

1. 了解家产权属：首先，需要明确家产的权属情况，是母亲的个人财产还是父母的共同财产。
2. 查看遗嘱情况：如果父亲生前立有遗嘱，应仔细查看遗嘱内容，了解家产的继承方式和继承人。
3. 协商与沟通：在处理家产时，建议家庭成员之间进行充分的协商和沟通，以达成共识并避免矛盾。
4. 寻求法律帮助：如果涉及复杂的法律问题或家庭成员之间无法达成一致意见，建议及时向我咨询，以便获得专业的法律意见和指导。

总之，父亲去世后母亲对家产的处置权受到家产权属和继承原则的严格限制。在遵守相关法律法规的前提下，母亲可以依法处置属于自己的家产份额或按照遗嘱继承的遗产份额。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。