针对公司某员工散播其他人病情的情况，处理方式需结合法律、公司制度及人际关系管理等多方面因素，具体处理建议如下：

1. 立即调查核实
   公司应第一时间启动内部调查程序，通过询问当事人、调取监控、查阅聊天记录等方式，确认散播行为是否属实、传播范围及具体内容。若涉及虚假信息或恶意夸大，需固定证据（如截图、录音等），为后续处理提供依据。

2. 依据公司制度处理
   根据《劳动合同法》及公司内部规章制度（如《员工手册》），散播他人隐私可能构成“严重违反公司规章制度”的行为。公司可依据制度对涉事员工采取警告、记过、降薪、解除劳动合同等措施。

   • 若情节较轻（如仅在内部小范围传播且未造成严重后果）：可先通过口头或书面警告，要求其停止传播并公开道歉。
     
   • 若情节严重（如造成被传播者名誉受损、精神损害或引发群体性恐慌）：公司有权直接解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

3. 法律风险防范

   • 被传播者的权利：根据《民法典》第1032条（隐私权保护）和第1024条（名誉权保护），被传播者有权要求涉事员工停止侵害、赔礼道歉、消除影响，甚至主张精神损害赔偿。公司若未及时处理，可能被认定为共同侵权人，承担连带责任。
     
   • 公司责任：若公司未尽到管理义务（如未及时制止、未保护员工隐私），可能面临行政处罚（如劳动监察部门责令整改）或民事赔偿（如被传播者起诉公司管理失职）。

4. 后续补救措施

   • 对被传播者：公司应主动沟通，提供心理支持或协助其通过法律途径维权。
     
   • 对全体员工：通过培训、公告等方式重申隐私保护制度，明确禁止传播他人健康信息，避免类似事件再次发生。

总结：公司需以“调查-处理-防范”为路径，既依法依规处置涉事员工，又通过制度完善和员工教育降低法律风险。若涉及复杂情况（如被传播者已起诉），建议进一步提供具体细节，我将协助分析应对策略。