结论前置：在帮信罪案件中，若检察院表示不起诉但通知拘留十三天，这通常意味着在检察院作出不起诉决定前，公安机关已对嫌疑人进行了刑事拘留，且拘留时间可能因案件复杂程度而延长至十三天。拘留的决定和执行主体是公安机关，但检察院的审查意见会影响拘留的后续处理。

详细分析：

1. 拘留的决定与执行主体：

   • 在刑事案件中，拘留的决定通常由公安机关作出，并由公安机关执行。公安机关在侦查过程中，如果认为犯罪嫌疑人存在逃跑、毁灭证据等可能，可以依法对其采取刑事拘留措施。
   • 检察院在刑事案件中主要承担审查起诉的职责，它会对公安机关提请批准逮捕的案件进行审查，并作出是否批准逮捕的决定。但检察院本身并不直接决定或执行拘留。

2. 拘留时间的计算与延长：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
   • 对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。
   • 在您提到的情况中，拘留十三天可能意味着案件涉及较为复杂的情形，如流窜作案、多次作案或结伙作案等，导致公安机关提请审查批准的时间延长，或者检察院在审查过程中需要更多时间来评估案件。

3. 不起诉决定与拘留的关系：

   • 不起诉决定是检察院在审查案件后，认为犯罪嫌疑人的行为不构成犯罪或依法不应追究刑事责任时作出的决定。
   • 如果检察院在拘留期间或之后作出不起诉决定，公安机关应当立即释放被拘留的犯罪嫌疑人，并发给释放证明。但在此之前，公安机关有权根据案件情况对犯罪嫌疑人进行拘留。

4. 后续行动建议：

   • 如果您或您的亲友因帮信罪被拘留，并面临检察院不起诉但已拘留十三天的情况，建议尽快了解拘留的具体原因和案件进展。
   • 同时，可以考虑委托专业律师介入，律师可以会见嫌疑人，了解详细案情，提供法律咨询，并与办案机关沟通，提出法律意见，以维护嫌疑人的合法权益。

特殊情况说明：

• 如果拘留时间超过了法定最长期限（如非重大嫌疑分子且未延长的情况下超过10天，或重大嫌疑分子且未批准逮捕的情况下超过37天），则可能存在超期羁押的情况。此时，您可以向公安机关或检察院提出申诉，要求立即释放嫌疑人。

总结与建议：

• 面对帮信罪案件中的拘留和不起诉决定，了解拘留的决定与执行主体、拘留时间的计算与延长、不起诉决定与拘留的关系等法律知识至关重要。
• 如果您或您的亲友遇到此类情况，建议尽快咨询并委托专业律师介入，以确保合法权益得到妥善维护。有问题可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。