当履行合同的当事人死亡时，合同的处理需综合考虑合同的性质、继承人的选择、法律规定及合同约定。以下是对此问题的详细分析：
一、明确结论
合同履行方死亡后，合同是否继续履行或终止，主要取决于合同的性质（是否具有人身属性）以及继承人的意愿和法律规定。
二、合同性质的影响
人身专属性合同：
- 情况分析：若合同具有强烈的人身属性，如委托合同、演出合同、劳动合同等，这些合同依赖于特定当事人的个人技能、能力、形象或身份等，则合同通常会因当事人死亡而无法继续履行，合同关系自然终止。例如，一位画家与客户签订了绘画合同，但画家在合同履行期间去世，那么该合同通常就无法继续履行了。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，如第九百三十四条，委托人死亡、终止或者受托人死亡、丧失民事行为能力、终止的，委托合同终止；但是，当事人另有约定或者根据委托事务的性质不宜终止的除外。对于劳动合同，劳动者死亡则劳动合同自然终止。
财产性合同：
- 情况分析：若合同主要涉及财物内容，不依赖特定人身关系，如买卖合同、租赁合同等，则合同可能由死者的继承人在继承遗产范围内继续履行。例如，一位房东与租客签订了租赁合同，但房东在合同期间去世，那么该租赁合同可以由房东的继承人继续履行。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第五百五十七条和第一千一百六十一条，债权人免除债务或法律规定、当事人约定终止的其他情形会导致债权债务终止，同时继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。
三、继承人的角色与选择
继承人继承合同权利和义务：
- 若死亡一方留有法定继承人，且继承人愿意继承合同中的权利和义务，则合同可继续有效。继承人需在继承财产权益的范围内履行合同义务。例如，在财产租赁合同中，如果房东去世，其继承人可以选择继续履行租赁合同，并收取租金。
继承人放弃继承：
- 若继承人选择放弃继承，则通常无需承担合同中的义务。此时，合同可能因无法履行而终止。例如，在买卖合同中，如果卖方去世且其继承人放弃继承，那么买方可能无法继续履行合同，除非能找到其他解决方案。
四、法律规定与合同约定
法律规定：
- 根据《中华人民共和国民法典》等相关法律法规，合同权利义务关系会因一方死亡而受影响，具体处理方式需结合合同性质、当事人约定及法律规定判断。
合同约定：
- 若当事人在合同中明确约定了一方死亡后合同的处理方式（如自动终止或继续有效），则应按照合同约定执行。例如，合作开发合同中可能约定了继承人有权选择是否继续参与合作的相关条款。
五、建议措施
审查合同条款：
- 首先仔细审查合同条款，了解合同性质、权利义务及特别约定。这有助于确定合同在当事人死亡后的处理方式。
与对方沟通：
- 在了解合同情况和法律规定的基础上，与合同另一方沟通协商，确定合同处理方式。这有助于避免不必要的纠纷和损失。
办理相关手续：
- 根据协商结果或法律判决，办理合同终止、权利义务转让等相关手续。这有助于确保合同的合法性和有效性。
综上所述，当履行合同的一方死亡时，应综合考虑合同性质、继承人意愿、法律规定及合同约定来判断合同是否继续履行或终止。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。