结论前置：已经提起劳动仲裁后，劳动监察部门通常不会对同一事项重复处理，但会视情况决定是否继续调查或终止程序。以下是具体分析：

1. 劳动仲裁与劳动监察的职能区别

• 劳动仲裁：属于准司法程序，由劳动争议仲裁委员会处理劳动者与用人单位之间的具体争议（如工资拖欠、经济补偿、违法解除等），裁决具有法律效力，双方需履行。
• 劳动监察：属于行政执法程序，由劳动保障行政部门对用人单位遵守劳动法律法规的情况进行监督检查（如是否依法缴纳社保、是否超时加班等），可作出行政处罚（如罚款、责令改正）。

关键点：若你已就具体争议（如工资纠纷）申请仲裁，劳动监察部门通常不会对同一事项重复处理，但若发现用人单位存在其他违法行为（如未缴社保），仍可主动查处。

2. 已提仲裁后，劳动监察的可能处理方式

• 情况一：仲裁请求与监察事项重合
  若你申请仲裁的事项（如要求支付拖欠工资）与劳动监察的职责范围一致，监察部门可能会终止调查或中止程序，避免与仲裁结果冲突。例如，若仲裁已裁决用人单位支付工资，监察部门无需再就同一事项作出处罚。
• 情况二：仲裁请求外发现其他违法行为
  若在调查过程中发现用人单位存在其他违法行为（如未与劳动者签订劳动合同、未缴纳社保），劳动监察部门仍可依法查处，不受仲裁程序影响。例如，你申请仲裁要求支付加班费，监察部门在调查中发现单位未缴社保，可责令补缴并处罚。
• 情况三：仲裁前已立案，仲裁中继续处理
  若你向劳动监察部门投诉后，又申请了仲裁，监察部门可能根据案件进展决定是否继续处理。通常，若仲裁程序能更高效解决争议，监察部门会建议通过仲裁途径解决。

3. 给你的建议

• 明确诉求：若你已申请仲裁，建议优先通过仲裁程序解决具体争议（如工资、补偿），避免因程序重叠导致效率降低。
• 补充投诉：若发现用人单位存在仲裁请求外的违法行为（如未缴社保、克扣工资），可同时向劳动监察部门投诉，要求其依法查处。
• 关注时效：劳动仲裁的时效为1年（自知道或应当知道权利被侵害之日起计算），劳动监察的投诉时效为2年，需注意时间限制。

总结：已提劳动仲裁后，劳动监察部门通常不会对同一事项重复处理，但若发现其他违法行为仍可查处。建议根据具体诉求选择合适途径，必要时可同时启动仲裁和监察程序。如有进一步疑问，可直接向我咨询。