在债务人死亡的情况下，一般由主张债务人的继承人继承了遗产的债权人来承担举证责任。以下从不同角度为你详细分析：

举证责任分配的一般原则

在民事诉讼中，举证责任遵循“谁主张，谁举证”的基本原则。当债权人主张债务人的继承人继承了遗产，并要求继承人在继承遗产的范围内承担债务清偿责任时，债权人就需要提供证据来证明这一事实。这是因为，继承人是否继承了遗产，属于对债权人主张权利有重大影响的事实，根据举证责任分配规则，应由主张该事实存在的债权人来承担举证责任。

具体举证内容及方式

1. 证明继承人身份：债权人需要提供证据证明相关人员是债务人的合法继承人。这可以通过提供户口簿、亲属关系证明、公证书等材料来实现。例如，如果债务人的父母作为继承人，债权人可以提供债务人与父母的户口簿，或者由公安机关出具的亲属关系证明，以证明他们之间的亲子关系，从而确认其继承人身份。
2. 证明继承遗产的事实：这是举证的关键环节。债权人需要收集证据证明继承人实际继承了债务人的遗产，以及继承遗产的范围和价值。这可能包括：
   • 遗产清单及评估报告：如果债务人有留下遗产清单，或者经过专业评估机构对遗产进行评估的报告，这些都可以作为证明遗产范围和价值的证据。例如，债务人有一套房产，债权人可以提供房产证以及房产评估报告，证明该房产属于遗产且具有一定的价值。
   • 继承人之间的协议或分配方案：如果继承人之间就遗产分配达成了协议或制定了分配方案，债权人可以获取这些协议或方案作为证据。比如，继承人之间签订了遗产分配协议，明确各自继承的遗产份额，债权人可以通过合法途径获取该协议，以证明继承人继承遗产的情况。
   • 其他相关证据：如银行转账记录、财产过户手续等，也可能成为证明继承人继承遗产的证据。例如，债务人银行账户中的资金在债务人死亡后被转入继承人的账户，债权人可以提供银行转账记录，证明继承人继承了该部分资金。

特殊情况下的举证责任转移

在某些特殊情况下，举证责任可能会发生转移。例如，如果继承人主张自己没有继承遗产或者放弃继承遗产，那么继承人就需要提供相应的证据来证明自己的主张。这是因为，继承人作为对是否继承遗产这一事实有更直接了解的一方，在其提出否定性主张时，应当承担一定的举证责任。但如果继承人能够提供充分的证据证明自己确实没有继承遗产或者已经合法放弃了继承权，那么债权人就需要进一步寻找其他证据来支持自己的主张，或者承担举证不能的不利后果。

法律后果

如果债权人无法提供充分的证据证明继承人继承了遗产，那么法院可能无法支持债权人要求继承人在继承遗产范围内承担债务清偿责任的诉讼请求。这意味着债权人可能无法从继承人的财产中获得债务的清偿，其债权可能面临无法实现的风险。因此，债权人在主张权利时，一定要重视举证工作，尽可能收集全面、充分的证据来支持自己的主张。

在实际操作中，举证可能会遇到各种困难和挑战。如果你在处理此类案件时遇到问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况，为你提供更详细的法律建议和帮助。