结论前置：

1. 私营企业与招聘的副总经理只签订聘用合同而不签订劳动合同，一般是不合法的。
2. 但在特定情况下，如双方存在特殊约定且符合法律规定，可能被视为合法，但这种情况较为罕见且需严格符合法律要求。

详细分析：

首先，从法律的一般原则出发，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。劳动合同是明确双方权利和义务的重要法律文件，对于保护劳动者的合法权益、规范用人单位的用工行为具有重要意义。因此，在大多数情况下，私营企业与招聘的副总经理只签订聘用合同而不签订劳动合同，是不符合法律规定的。

聘用合同与劳动合同在法律性质上存在差异。聘用合同通常更多地关注于特定职位的职责、待遇等事项，而劳动合同则更全面地规定了双方的权利和义务，包括但不限于工作内容、工作地点、工作时间、劳动报酬、社会保险等。因此，仅签订聘用合同可能无法充分保障劳动者的合法权益。

然而，也存在一些特殊情况。例如，如果双方在聘用合同中明确约定了劳动合同的主要内容，并且这种约定符合《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，那么这种聘用合同可能被视为具有劳动合同的效力。但这种情况较为罕见，且需要严格符合法律要求，否则仍可能被视为违法。

法律建议：

1. 对于私营企业而言，为了避免法律风险，应当与招聘的副总经理签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。如果确实需要签订聘用合同，也应当在聘用合同中充分体现劳动合同的主要内容，并确保符合法律规定。

2. 对于副总经理而言，如果发现企业只签订了聘用合同而未签订劳动合同，应当及时与企业沟通，要求签订书面劳动合同。如果企业拒绝签订，副总经理可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

可能的法律后果：

如果私营企业未与招聘的副总经理签订书面劳动合同，且无法证明双方存在符合法律规定的特殊约定，那么企业可能面临劳动监察部门的处罚，包括但不限于罚款、责令改正等。同时，副总经理也有权要求企业支付未签订书面劳动合同的双倍工资差额等赔偿。

综上所述，私营企业与招聘的副总经理只签订聘用合同而不签订劳动合同，在大多数情况下是不合法的。为了避免法律风险和维护双方的合法权益，建议双方签订书面劳动合同。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。