结论是，在父亲去世后，一般情况下，六年的赡养费是无法直接追回的，但子女仍负有赡养义务，且可能涉及遗产分配等其他法律问题。以下是对此问题的详细分析：
一、赡养费的性质与追回可能性
赡养费是子女对父母应尽的经济支持义务，它并非一种可以“存储”或“追回”的债权。在父亲生病期间，哥哥未支付赡养费，这确实构成了对赡养义务的违反。然而，当父亲去世后，由于赡养的对象（即父亲）已经不存在，因此无法直接“追回”这六年的赡养费。这是因为赡养费并非一种可以独立存在的财产权，而是与赡养义务紧密相连的。
二、子女仍负有的赡养义务
尽管父亲已经去世，但哥哥作为子女，仍然负有对其他在世亲属（如母亲或其他需要赡养的亲属）的赡养义务。如果哥哥继续不履行赡养义务，其他亲属或相关机构（如居委会、村委会等）可以依法要求其履行赡养责任。
三、遗产分配中的考虑
在父亲去世后，其遗产的分配可能成为一个重要问题。如果哥哥未履行赡养义务，这在遗产分配时可能作为一个考虑因素。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，分配遗产时，可以多分。相反，有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时，应当不分或者少分。因此，哥哥未支付赡养费的行为，可能在遗产分配时导致其份额减少。
四、法律途径与建议
协商与调解：首先，可以尝试通过家庭内部的协商或第三方调解来解决赡养费的问题。这有助于维护家庭关系的和谐，并可能达成一个双方都能接受的解决方案。
法律诉讼：如果协商和调解无果，可以考虑通过法律途径来解决。但需要注意的是，由于父亲已经去世，直接追回六年的赡养费可能不可行。然而，可以就哥哥未履行赡养义务的行为在遗产分配时提出异议，或者要求其承担其他法律责任（如精神损害赔偿等，具体需根据案情判断）。
寻求法律援助：在处理此类法律问题时，建议寻求专业律师的法律援助。律师可以根据具体情况提供法律建议，并帮助制定合适的法律策略。
如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况提供全面、专业的法律服务。