对于国有企业员工的日常监管，第一责任人通常是该员工的直接上级或部门负责人，具体取决于企业的内部管理结构和规定。在大多数情况下，直接上级或部门负责人对员工的日常工作表现、行为规范以及遵守企业规章制度等方面负有直接的监管责任。
当员工犯错误时，是否应该追究领导责任，这取决于多个因素：
领导是否尽到了监管职责：
- 如果领导已经按照企业规定和职责要求，对员工进行了必要的培训、指导和监督，且员工犯错误并非由于领导的疏忽或故意行为导致，那么领导通常不应被追究过重的责任。
- 反之，如果领导未能履行其监管职责，如未对员工进行必要的培训、指导，或对员工的违规行为视而不见，那么领导可能需要承担一定的责任。
错误的性质和后果：
- 如果员工犯的错误是轻微的，且未对企业造成重大损失或不良影响，那么追究领导责任的可能性可能较小。
- 如果员工犯的错误是严重的，如违反法律法规、企业规章制度，或给企业造成重大损失，那么除了对员工进行处罚外，还可能需要追究相关领导的责任。
企业的内部规定和制度：
- 不同的企业可能有不同的内部规定和制度，关于员工犯错误时领导的责任划分也可能有所不同。因此，在具体情况下，需要参考企业的相关规定和制度。
法律建议：
- 对于国有企业而言，应建立健全的内部管理制度和监管机制，明确各级领导和员工的职责和权限，以确保企业的正常运营和员工的合规行为。
- 当员工犯错误时，企业应进行全面的调查和分析，确定错误的性质和后果，以及领导是否尽到了监管职责。在此基础上，合理划分责任，并采取相应的处罚措施。
- 如果涉及法律纠纷或诉讼，企业应及时咨询专业律师，以确保企业的合法权益得到保护。
可能的法律后果：
- 如果领导因未尽到监管职责而被追究责任，可能会面临企业的内部处罚，如警告、罚款、降职等。
- 在严重情况下，如果领导的行为构成违法或犯罪，如玩忽职守、滥用职权等，还可能面临刑事责任。
综上所述，对于国有企业员工的日常监管和员工犯错误时的领导责任追究问题，需要综合考虑多个因素。如果有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。