结论：事业单位在员工因病不能上班的情况下，一般不能随意开除员工，但需根据具体情况和法律规定来判断。
一、法律规定与事业单位的义务
根据《中华人民共和国劳动合同法》以及相关事业单位人事管理条例，员工因病或非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。这是为了保护员工的合法权益，确保他们在患病期间能够得到必要的医疗和休息，而不必担心失去工作。
医疗期规定：医疗期的具体长度根据员工的工作年限和在本单位的工作年限来确定。在医疗期内，员工享有病假工资或疾病救济费，且用人单位不得解除劳动合同。
事业单位的特殊规定：对于事业单位而言，其人事管理可能还受到《事业单位人事管理条例》等规定的约束。这些规定通常也会强调保护员工的合法权益，特别是在员工患病或受伤的情况下。
二、可能开除的情况与限制
尽管有上述保护规定，但在某些特定情况下，事业单位可能仍然有权解除与员工的劳动合同。不过，这些情况通常受到严格的限制，并且需要遵循法定的程序。
员工严重违反规章制度：如果员工在患病期间严重违反了单位的规章制度，且这种违反行为与患病无直接关联，那么单位可能有权解除劳动合同。但这种情况非常罕见，且需要充分的证据支持。
员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位仍不能胜任：如果员工因病长期不能胜任原工作，且经过培训或调整工作岗位后仍然不能胜任，那么单位在支付经济补偿后可能有权解除劳动合同。但这种情况也需要遵循严格的程序和条件。
劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化：如果因客观情况发生重大变化，致使原劳动合同无法履行，且双方未能就变更劳动合同达成协议，那么单位在支付经济补偿后可能有权解除劳动合同。但这种情况同样需要充分的证据和程序支持。
三、建议与后续行动
了解医疗期和病假工资：首先，您应该了解自己的医疗期长度以及在医疗期内享有的病假工资或疾病救济费。这有助于您规划自己的医疗和休息时间。
与单位沟通：如果您因病不能上班，建议及时与单位沟通，说明自己的情况，并了解单位对于病假和医疗期的具体规定。这有助于避免不必要的误解和纠纷。
寻求法律援助：如果单位违反了相关法律规定，试图在医疗期内解除与您的劳动合同，您可以寻求法律援助或咨询专业律师，以维护自己的合法权益。
关注身体状况与康复：在处理法律问题的同时，也不要忽视自己的身体状况和康复需求。及时就医、遵循医嘱、积极康复是非常重要的。
总结：事业单位在员工因病不能上班的情况下，一般不能随意开除员工。但具体情况还需根据员工的医疗期、病情严重程度以及单位的具体规定来判断。如果您遇到此类问题，建议及时与单位沟通并寻求法律援助。有问题可以直接向我咨询。