当雇主雇佣的司机在开车过程中撞坏东西时，赔偿责任的归属需要依据具体情况和相关法律法规来综合判断。以下是对此问题的详细解答：
一、赔偿责任主体
司机个人责任：
- 如果司机因故意（如酒驾、报复社会等）或重大过失（如严重超速、违规变道、无证驾驶等）导致事故，那么司机个人需要承担相应的赔偿责任。
雇主责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，雇员在执行职务过程中造成他人损害的，由雇主承担责任。因此，如果事故发生在司机执行职务期间，且司机没有故意或重大过失，那么雇主通常需要承担赔偿责任。
- 但是，如果司机存在故意或重大过失，雇主在承担赔偿责任后，有权向司机追偿部分或全部损失。
保险公司责任：
- 如果车辆已经投保了车损险或第三者责任险等保险，那么保险公司应在保险范围内先行赔付。赔付金额和范围将依据保险合同的约定来确定。
二、处理流程
报案与定责：
- 事故发生后，应立即向交警部门报案，并获取事故认定书以明确责任比例。
- 同时，通知保险公司进行定损，确定车辆维修费用或其他损失金额。
协商赔偿：
- 根据事故认定书和保险公司的定损结果，由责任方（司机、雇主或保险公司）进行协商赔偿。
- 如果司机是执行职务期间发生的事故，且没有故意或重大过失，那么通常由雇主先行赔偿，再视情况向司机追偿。
诉讼解决：
- 如果协商不成，任何一方都可以向法院提起诉讼，由法院根据过错程度、职务关联性等因素来判决赔偿责任。
三、特殊情况考虑
车辆挂靠关系：
- 如果车辆是以挂靠形式从事道路运输经营活动的，且事故属于该机动车一方责任，那么挂靠人和被挂靠人可能需要承担连带责任。
第三方责任：
- 如果事故涉及其他责任方（如对方车辆违规变道导致碰撞），那么可以向第三方索赔。如果第三方无力赔偿，可以通过代位求偿权由己方保险公司先行赔付后追偿。
四、建议与预防措施
雇主方面：
- 定期审查司机资质和车辆状况，确保司机具备合法驾驶资格且车辆处于良好状态。
- 购买足额的保险，以减轻可能的经济负担。
- 在劳动合同中明确关于事故责任的约定，以便在事故发生后能够迅速明确责任。
司机方面：
- 严格遵守交通规则，避免违规行为。
- 了解自身责任范围，保留相关证据（如行车记录仪记录）以备不时之需。
车主方面：
- 及时续保车损险和第三者责任险等保险，关注免责条款。
- 事故发生后尽快固定证据（现场照片、证人证言等），以便在协商或诉讼过程中维护自身权益。
总结：雇佣司机开车撞坏东西时的赔偿责任归属需要依据具体情况和相关法律法规来综合判断。一般情况下，如果司机是执行职务期间发生的事故且没有故意或重大过失，那么由雇主承担赔偿责任；如果司机存在故意或重大过失，雇主在承担赔偿责任后有权向司机追偿；同时，保险公司也应在保险范围内先行赔付。在处理此类问题时，应充分考虑各方责任、法律规定及案件事实，以确保公平合理地解决纠纷。