当员工在劳动合同到期时请病假，这是一个涉及劳动法律法规和公司管理规定的问题，需要细致且合规地处理。以下是对此问题的详细解答：
一、合同期限的自动延续
根据《劳动合同法》的相关规定，如果员工在劳动合同期满前请病假，并且处于法定医疗期内，那么劳动合同将自动延续至医疗期结束时终止。这意味着，在医疗期内，公司不能单纯以合同到期为由终止与员工的劳动关系。
二、医疗期的确定
医疗期的长短是根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定的。具体标准如下：
- 实际工作年限十年以下，本单位工作年限五年以下为3个月；五年以上为6个月。
- 实际工作年限十年以上，本单位工作年限五年以下为6个月；五年以上十年以下为9个月；十年以上十五年以下为12个月；十五年以上二十年以下为18个月；二十年以上为24个月。
对于某些患特殊疾病（如癌症、精神病、瘫痪等）的职工，在二十四个月内尚不能痊愈的，经企业和劳动主管部门批准，可以适当延长医疗期。
三、医疗期内的待遇
在医疗期内，员工享有病假工资或疾病救济费，这是由企业按照有关规定支付的。病假工资或疾病救济费可以低于当地最低工资标准支付，但不能低于最低工资标准的80%。同时，员工需要提供正规医疗机构出具的病假证明，以核实病假的真实性和合理性。
四、用人单位的权利和义务
义务：
- 支付病假工资：按照规定支付员工在医疗期内的病假工资或疾病救济费。
- 不得随意终止合同：在医疗期内，除非员工存在严重过错（如违反公司规章制度等），否则用人单位不能以合同到期为由终止劳动合同。
权利：
- 审查病假真实性：有权要求员工提供病假证明等相关材料，并进行核实。如发现虚假病假，可按规定处理甚至解除劳动合同。
- 医疗期满后的处理：医疗期结束后，若员工不能从事原工作或另行安排的工作，用人单位可提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同，但需支付经济补偿。
五、员工的权利和义务
权利：
- 享受医疗期待遇：在医疗期内享有病假工资、劳动合同延续等权益。
- 获得经济补偿：若医疗期满后被解除劳动合同，有权按工作年限获得经济补偿。
义务：
- 遵守病假规定：按照公司规章制度办理病假手续，提供真实有效的病假证明等材料。
- 配合管理：在病假期间及医疗期满后，积极配合用人单位的管理和工作安排。
六、实际操作建议
- 查阅公司规章制度：首先了解公司关于请病假的具体规定，包括请假流程、所需证明等。
- 及时沟通：员工请病假时，用人单位应及时与员工沟通，了解其病情及医疗期情况。
- 合规处理：根据劳动法律法规及公司规章制度，合规处理员工的病假申请及合同延续事宜。
- 保留证据：用人单位应妥善保存员工的病假证明、医疗期记录等相关证据，以备不时之需。
综上所述，当员工在劳动合同到期时请病假，用人单位需严格遵守劳动法律法规，确保员工的合法权益得到保障，同时也应维护自身的管理权利。在实际操作中，应结合公司规章制度和具体情况进行灵活处理。