针对您提出的“轻微伤已经立案，但打人者逃走2个多月了，该怎么办”的问题，我给出以下建议：

1. 立即与警方保持紧密沟通：

   • 既然已经立案，说明警方已经介入调查。此时，您应定期与承办案件的民警联系，了解案件的最新进展，包括警方是否已经锁定了嫌疑人的线索，或者是否已经发布了协查通报等。
   • 如果警方需要您提供进一步的线索或证据，您应积极配合，如提供现场照片、视频、目击者证言等，这些都有助于警方更快地追捕到打人者。

2. 关注伤情鉴定结果：

   • 轻微伤的鉴定结果是后续处理案件的重要依据。您应按照警方的安排，前往指定的具有资质的鉴定机构进行伤情鉴定，并妥善保管鉴定报告。
   • 如果伤情有所变化或需要进一步的治疗，您也应及时告知警方，并更新伤情鉴定结果。

3. 准备民事赔偿诉讼：

   • 在警方破案并查明打人者身份信息后，您可以考虑通过民事诉讼的方式要求打人者承担民事赔偿责任。
   • 赔偿范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、营养费等因被打而遭受的经济损失，以及可能的精神损害抚慰金。您应提前准备好相关证据，如医疗记录、费用清单、收入证明等，以便在诉讼中主张自己的权益。

4. 保持冷静并相信警方：

   • 面对打人者逃跑的情况，保持冷静非常重要。不要惊慌失措或采取过激行为，这可能会影响案件的调查和处理。
   • 公安机关会采取多种手段追捕逃跑的打人者，如发布协查通报、利用监控视频追踪、排查嫌疑人的社会关系等。您应相信警方会尽力处理案件，并积极配合他们的工作。

5. 考虑申请法律援助或咨询专业律师：

   • 如果您在处理案件过程中遇到法律难题或需要进一步的法律帮助，可以考虑申请法律援助或咨询专业律师。
   • 作为一名专注于婚姻家庭、侵权纠纷领域的律师，我可以为您提供专业的法律咨询和代理服务。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。

最后，我想强调的是：面对打人者逃跑的情况，您应保持冷静并采取正确的行动。通过积极与警方沟通、关注伤情鉴定结果、准备民事赔偿诉讼以及相信警方的处理能力，您有望依法维护自己的权益并找到打人者。同时，如果您在处理过程中遇到任何法律难题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。