当公证的买卖合同与私下签订的买卖合同发生冲突时，这确实是一个需要谨慎处理的问题。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们要明确的是，公证的买卖合同通常具有更高的法律效力。公证是法律上的一种确认行为，它证明了合同内容的真实性、合法性，并赋予了合同更强的证据力。因此，在一般情况下，如果公证的买卖合同与私下签订的合同存在冲突，法院或相关仲裁机构往往会倾向于认可公证合同的效力。
然而，冲突的具体情况可能多种多样。例如，可能是双方在私下签订了合同后，又出于某种原因（如为了增加合同的正式性、确保交易安全等）进行了公证，但公证时对合同内容进行了修改；或者可能是双方在私下签订了一份合同，但后来又签订了一份经过公证的、内容有所不同的合同。
针对这种情况，我建议您采取以下步骤：
仔细审查两份合同：明确它们之间的差异点，以及这些差异点对双方权益的影响。
收集证据：包括但不限于合同正本、付款凭证、通信记录（如电子邮件、短信、电话录音等），这些证据将有助于您在后续处理中证明自己的立场。
尝试友好协商：在明确问题后，首先尝试与对方进行友好协商，看是否能够达成一致意见，修改或废止其中一份合同，以消除冲突。
寻求法律帮助：如果协商无果，您可能需要寻求专业的法律帮助。律师可以为您提供法律意见，帮助您分析两份合同的法律效力，以及您在此情况下的权益和义务。
提起诉讼或仲裁：如果必要，您可以根据合同中的争议解决条款（如仲裁条款或诉讼管辖条款），向具有管辖权的人民法院提起诉讼，或向约定的仲裁机构申请仲裁，以维护自己的合法权益。
在整个过程中，严格遵守法律程序并注意诉讼时限的规定是非常重要的。这将有助于确保您的权益得到适当的处理和保护。
最后，我想强调的是，虽然公证的买卖合同通常具有更高的法律效力，但在处理冲突时，我们仍然需要综合考虑各种因素，包括合同的签订背景、目的、双方的真实意愿等，以做出最合理的判断。希望这些建议能对您有所帮助。