行政机关应该在60日内答复的法律依据主要来源于《中华人民共和国行政复议法》的相关规定。具体来说，有以下几点需要明确：

1. 一般答复期限：

   • 根据《中华人民共和国行政复议法》第四十三条（部分版本为第三十一条，因法律修订可能存在条款编号差异，但内容核心一致）的规定，行政复议机关应当自受理申请之日起六十日内作出行政复议决定。这一规定明确了行政机关在处理行政复议申请时的基本时限要求，旨在保障当事人的合法权益能够得到及时救济。

2. 特殊情况下的延长期限：

   • 当案件情况复杂，不能在规定的六十日期限内作出行政复议决定时，经行政复议机关的负责人批准，可以适当延长答复期限。但需要注意的是，延长期限最多不得超过三十日。这意味着，包括延长期在内，行政复议机关作出决定的最长时间为自受理申请之日起九十日。

3. 特别法律规定的优先适用：

   • 如果其他法律对行政复议期限有特别规定，且该期限少于六十日，则应依照该特别法律规定执行。例如，某些特定领域的法律可能根据行业特点或管理需要，对行政复议期限作出了更短的规定。在这种情况下，行政机关应遵守这些特别规定。

法律背景与建议：

• 行政复议制度作为行政系统内部的一种监督与救济机制，其时限规定对于保障当事人权益、促进行政机关依法行政具有重要意义。行政机关应严格遵守法定时限要求，确保行政复议决定的及时作出。
• 对于当事人而言，如果行政机关未能在法定或延长的期限内作出复议决定，可以依法向人民法院提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。
• 在实际操作中，如果遇到情况复杂、难以在规定期限内作出决定的情形，行政机关应及时向当事人说明情况，并依法申请延长复议期限。同时，应确保延长期限的合理性和必要性，避免无故拖延。

可能的法律后果：

• 如果行政机关未能在法定时限内作出行政复议决定，且未依法申请延长复议期限或申请未获批准，则可能构成程序违法。在这种情况下，当事人有权依法寻求司法救济，要求行政机关承担相应的法律责任。

综上所述，行政机关应该在60日内答复的法律依据主要来源于《中华人民共和国行政复议法》的相关规定。在实际操作中，行政机关应严格遵守法定时限要求，确保行政复议决定的及时作出。如果遇到特殊情况需要延长复议期限，应及时向当事人说明情况并依法申请延长。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。