行政机关履职答复期限的法律依据主要依据《中华人民共和国行政许可法》及相关行政法规、规章的规定。以下是对此问题的详细分析：

1. 一般规定：

   • 根据《中华人民共和国行政许可法》第四十二条的规定，除可以当场作出行政许可决定的外，行政机关应当自受理行政许可申请之日起二十日内作出行政许可决定。二十日内不能作出决定的，经本行政机关负责人批准，可以延长十日，并应当将延长期限的理由告知申请人。但是，法律、法规另有规定的，依照其规定。这一条款明确了行政机关在处理行政许可申请时的基本答复期限。

2. 特殊规定：

   • 对于某些特定的行政许可事项，法律、法规可能规定了不同的答复期限。例如，对于需要听证、招标、拍卖、检验、检测、检疫、鉴定或专家评审的行政许可事项，其答复期限可能会根据具体情况有所延长。这些特殊规定通常会在相关的法律、法规中明确列出。

3. 联合办理或集中办理的特殊情况：

   • 如果行政许可事项需要由两个以上部门分别实施，或者需要统一办理、联合办理、集中办理，那么答复期限可能会有所不同。根据《中华人民共和国行政许可法》的相关规定，这些情况下，受理部门应当自受理申请之日起四十五日内作出决定。四十五日内不能办结的，经本级人民政府负责人批准，可以延长十五日，并应当将延长期限的理由告知申请人。

4. 下级行政机关审查后报上级的决定期限：

   • 对于依法应当先经下级行政机关审查后报上级行政机关决定的行政许可，下级行政机关应当在法定期限内将初步审查意见和全部申请材料直接报送上级行政机关。上级行政机关不得要求申请人重复提供申请材料，且其决定期限也需遵循相关法律规定。

5. 行政机关不履行或拖延履行的法律责任：

   • 如果行政机关在法定期限内未作出行政许可决定，或者未按照规定将延长期限的理由告知申请人，那么申请人有权依法提起行政复议或行政诉讼，要求行政机关承担相应的法律责任。

法律建议：

• 对于行政机关而言，应严格遵守法定答复期限，确保行政许可的及时性和有效性。
• 对于申请人而言，如果行政机关未在法定期限内作出答复，可以依法维护自己的合法权益，通过行政复议或行政诉讼等途径寻求救济。

在实际操作中，如果遇到行政机关未在法定期限内答复的情况，建议申请人及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，并依法采取相应的法律措施。如果有任何行政纠纷、刑事辩护、房屋拆迁、土地纠纷、行政诉讼等方面的法律问题，也可以直接向我咨询。