劳务派遣员工被辞退的决定权及责任承担需分情况讨论，具体如下：

一、决定权归属：用工单位与派遣单位的角色分工

1. 用工单位的退回权
   根据《劳动合同法》第六十五条，用工单位在以下情形可将劳动者退回派遣单位：

   • 劳动者严重违反规章制度、失职造成重大损害等过错情形；
     
   • 劳动者经培训或调岗后仍不能胜任工作；
     
   • 客观情况发生重大变化（如用工单位破产、经营困难等），导致原派遣任务无法履行。
     但退回不等于解除合同，仅意味着劳动者需返回派遣单位。

2. 派遣单位的解除权
   派遣单位作为法律上的用人单位，需根据退回原因决定是否解除劳动合同：

   • 若因劳动者过错被退回，派遣单位可依法解除合同，无需支付经济补偿；
     
   • 若因用工单位原因（如裁员、客观情况变化）被退回，且派遣单位重新派遣时维持或提高条件但劳动者拒绝，则派遣单位可解除合同，经济补偿由用工单位承担；
     
   • 若派遣单位违法解除合同（如无合法理由），则需自行承担法律责任。

二、责任承担：经济补偿与赔偿的规则

1. 用工单位承担责任的情形

   • 因用工单位原因（如裁员、客观情况变化）导致劳动者被退回，且派遣单位解除合同的，经济补偿按劳动者在派遣单位的工作年限计算，由用工单位承担实际支付义务。
     计算公式：
     [ \text{经济补偿} = \text{工作年限} \times \text{月工资}
     ]
     （工作年限满1年计1个月，6个月以上不满1年按1年计，不满6个月计半个月；月工资为离职前12个月平均工资）

2. 派遣单位承担责任的情形

   • 劳动者因自身过错被退回，派遣单位解除合同的，无需支付补偿；
     
   • 派遣单位违法解除合同的（如未提前通知、无合法理由），需按经济补偿标准的两倍支付赔偿金。
     计算公式：
     [ \text{赔偿金} = 2 \times \text{经济补偿}
     ]

3. 共同承担责任的情形
   若派遣协议约定或实际履行中存在用工单位与派遣单位过错混同（如未协商变更合同即解除），可能需共同承担赔偿责任。

三、劳动者权益保障与维权路径

1. 证据保留
   劳动者应保存工资条、考勤记录、退回通知书、派遣协议等材料，以证明劳动关系及被辞退事实。

2. 维权步骤

   • 协商调解：优先与派遣单位、用工单位沟通，或通过工会、第三方调解机构解决；
     
   • 劳动仲裁：向劳动合同履行地或派遣单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁（时效1年）；
     
   • 诉讼程序：对仲裁结果不服的，可在15日内向法院提起诉讼。

3. 典型案例参考
   某公司因业务调整将派遣员工张某退回，派遣单位以“客观情况变化”为由解除合同但未支付补偿。法院认定派遣单位未履行协商变更合同的义务，判定其支付违法解除赔偿金。

四、实用建议

1. 明确合同条款：签订劳动合同时，务必要求派遣单位注明用工单位、派遣期限、岗位等信息，避免条款模糊导致维权困难。
   
2. 及时主张权利：若被违法辞退，应在1年内申请劳动仲裁，避免超过时效。
   
3. 法律咨询：复杂情况下（如涉及赔偿计算、协议效力争议），建议直接向我咨询，我会结合具体案情提供专业方案。

总结：劳务派遣员工的辞退决定权与责任承担需结合退回原因、合同约定及法律规定综合判断。劳动者应了解自身权益边界，在遭遇不公正对待时，通过合法途径维护利益。如有进一步疑问，可直接向我提问。