劳务派遣员工被辞退时，原则上应由劳务派遣单位承担赔偿责任。下面我将从不同角度为您详细分析：
一、劳务派遣单位作为用人单位的责任
根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，劳务派遣单位是用人单位，与劳务派遣员工之间存在直接的劳动合同关系。因此，当劳务派遣员工被辞退时，劳务派遣单位应当承担相应的法律责任，包括支付经济补偿金等。
- 经济补偿金的支付：如果劳务派遣员工被辞退，且辞退原因符合《劳动合同法》规定的支付经济补偿金的情形（如用人单位提出解除劳动合同并与劳动者协商一致解除劳动合同、用人单位依照法律规定解除劳动合同等），则劳务派遣单位应当按照劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿金。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
二、用工单位可能承担的责任
虽然劳务派遣单位是主要的赔偿责任主体，但在某些特定情况下，用工单位也可能需要承担一定的责任。
- 连带赔偿责任：如果用工单位直接辞退劳务派遣员工，且该辞退行为违反了法律规定或劳动合同约定，导致劳务派遣员工遭受损失，那么劳务派遣单位与用工单位可能需要承担连带赔偿责任。不过，这种情况相对较少见，且需要具体分析辞退行为是否违法或违约。
三、实际操作中的注意事项
- 收集证据：劳务派遣员工在遭遇辞退时，应注意收集相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、辞退通知等，以便在维护自身权益时提供有力支持。
- 协商与仲裁：当与劳务派遣单位或用工单位就补偿问题产生争议时，可先尝试协商解决。协商不成的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
四、案例分析
以陕西省城固县人民法院审理的一起劳务派遣劳动争议案件为例，该案中吴某被某人力公司派遣至某通信公司工作，后因业务调整被人力公司解除劳动关系。法院最终认定，由于吴某和人力公司自愿签订了劳动合同解除协议，并按吴某实际工作年限一次性支付了补偿金，且该协议合法有效，因此通信公司作为受派遣单位无需向吴某支付赔偿金。这一案例进一步印证了劳务派遣员工被辞退时，赔偿责任主要由劳务派遣单位承担的原则。
总结与建议：
- 明确索赔对象：劳务派遣员工在遭遇辞退时，应明确自己的索赔对象为劳务派遣单位，并依法主张自己的合法权益。
- 了解法律规定：熟悉《劳动合同法》等相关法律法规，了解自己在被辞退时应享有的权益和应得的补偿。
- 及时维权：如果认为自己的权益受到侵害，应及时收集证据并寻求法律援助或提起劳动争议仲裁/诉讼以维护自己的合法权益。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您还有其他法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。