当遇到约定时间付款而对方未付的情况时，这确实是一个需要谨慎处理的问题。以下是我为您提供的详细解答和建议：

一、确认合同条款

首先，您需要仔细审阅合同中关于付款期限和违约责任的条款。合同中通常会明确约定付款的具体时间、方式以及逾期付款的违约责任，如支付违约金、逾期利息等。这是后续处理的基础和依据。

二、与对方沟通协商

在确认合同条款后，您可以先尝试与对方进行沟通协商。通过书面或口头形式，明确告知对方已逾期付款，并要求其尽快履行付款义务。同时，可以询问对方未付款的原因，看是否存在误解或特殊情况。在沟通过程中，务必保持冷静和理性，避免情绪化。

三、发送书面催告函

如果沟通协商无果，您可以考虑向对方发送书面催告函。催告函中应明确指出对方已逾期付款的事实，限定其在一定合理期限内付款，并明确逾期不付的不利后果，如解除合同、追究违约责任等。发送催告函时，务必保留好相关证据，如邮寄凭证、电子邮件发送记录等。

四、依据合同条款追究违约责任

如果对方在催告期限内仍未付款，您可以依据合同中的违约责任条款，向对方提出支付违约金、逾期利息等诉求。如果合同中未明确约定违约责任，您可以根据法律规定，要求对方赔偿因其逾期付款造成的损失，损失一般可以参照同期贷款市场报价利率计算的利息。

五、考虑解除合同并要求赔偿

如果对方长期未付款，且合同中约定的解除条件已经满足，您可以考虑依法解除合同，并要求对方退还已履行部分的款项，同时承担由此产生的全部损失。在解除合同前，务必确保您已履行了合同中的其他义务，以避免自身违约。

六、采取法律手段维护权益

如果上述努力均无法取得预期效果，您可以向具有管辖权的人民法院提起诉讼，借助法律的力量强制对方履行付款义务。在诉讼过程中，请务必注意搜集和保存所有与合同履行、催告等事项有关的证据资料，如合同副本、付款证明、往来信函、催告函等，以便在诉讼过程中更好地维护自己的合法权益。

七、预防措施与建议

为了避免类似情况再次发生，建议您在签订合同时就明确约定付款期限、方式和违约责任等条款，并确保合同内容清晰、明确、无歧义。同时，在合同履行过程中，保持与对方的良好沟通，及时了解对方的付款情况，以便在出现问题时能够迅速采取措施。

总之，当遇到约定时间付款而对方未付的情况时，您需要保持冷静和理性，依据合同条款和法律规定来处理问题。通过沟通协商、发送催告函、追究违约责任、解除合同并要求赔偿以及采取法律手段等措施，您可以有效地维护自己的合法权益。