结论：乡镇政府让开发商在广场建房是否合法，需结合具体情况判断，主要涉及规划审批、土地性质、程序合法性三个核心维度。以下分情况说明：
1. 若广场规划用途为居住或商业用地，且开发商已取得合法审批手续
根据《城乡规划法》第40条，建设单位需持规划许可证、用地批准文件等材料，向县级以上政府城乡规划主管部门申请建设工程规划许可证。若乡镇政府已依法完成以下程序：
- 广场所在区域土地性质为居住/商业用地（需核查《土地利用总体规划》）；
- 开发商已通过公开出让或协议出让方式取得土地使用权；
- 项目符合控制性详细规划（如容积率、建筑密度等指标）；
- 已取得建设工程规划许可证、施工许可证等法定文件，
则乡镇政府的行为合法。但需注意，乡镇政府本身无规划审批权，其“让建”行为可能仅限于协调或政策支持，实际审批权在县级以上规划部门。
2. 若广场规划用途为公共绿地、广场用地等非建设用地，或未履行法定审批程序
根据《城乡规划法》第35条，公共绿地、广场用地属于城市基础设施用地，严禁擅自改变用途。若乡镇政府存在以下情形之一，则行为违法：
- 未依法调整土地利用总体规划，直接允许开发商建房；
- 未组织环境影响评价、社会稳定风险评估等前置程序；
- 开发商未取得规划许可、施工许可等手续即开工建设；
- 建设项目违反强制性规划条件（如建筑高度、退界距离等）。
此时，开发商可能面临责令停工、罚款、限期拆除等行政处罚（《城乡规划法》第64条），乡镇政府相关责任人可能被追责（《监察法》第11条）。
3. 特殊情形：旧城改造或历史遗留问题
若广场属于旧城改造范围，且符合《国有土地上房屋征收与补偿条例》规定的“为了公共利益需要”的情形，乡镇政府可依法组织征收并重新出让土地。但需满足：
- 征收决定经县级以上政府批准；
- 补偿方案已公示并征求公众意见；
- 开发商通过招拍挂程序取得土地使用权。
若未履行上述程序，即使以“旧改”名义建房，仍属违法。
实务建议
- 核查规划文件：要求乡镇政府或开发商出示《建设工程规划许可证》《国有土地使用证》等文件，核对土地用途、规划条件是否与实际一致；
- 监督程序合法性：关注是否履行公示、听证等公众参与程序，避免“暗箱操作”；
- 维权途径：若发现违法建设，可向县级以上城乡规划主管部门举报（《城乡规划法》第57条），或通过行政复议、行政诉讼主张权利。
提示：法律判断需以具体证据为准，如需进一步分析，请提供项目规划文件、审批手续等材料，我将结合细节为您深入解答。