面对在单位负责发放中秋福利时，不小心多发了一份的情况，你可以按照以下步骤来妥善处理：

一、确认多发情况

首先，你需要仔细核对福利发放的记录，确认确实多发了一份，以及多发给了哪位员工。这一步至关重要，因为它能帮助你准确找到问题所在，为后续的处理提供依据。

二、与多发员工沟通

1. 私下沟通：选择一个合适的时间和地点，私下与多发福利的员工进行沟通。在沟通时，要保持礼貌和诚恳，说明情况并表达歉意。
2. 解释原因：向员工解释多发福利的原因，可能是由于疏忽或记录错误导致的，并强调这并非故意为之。
3. 提出解决方案：与员工协商解决方案，比如是否可以退回多发的福利，或者以其他方式补偿单位。在提出解决方案时，要充分考虑员工的感受和利益，尽量达成双方都能接受的协议。

三、与上级或相关部门汇报

1. 及时汇报：将多发福利的情况及时向上级或相关部门进行汇报，说明已经与多发员工进行了沟通，并提出了解决方案。
2. 听取意见：听取上级或相关部门的意见和建议，根据实际情况调整解决方案。
3. 记录备案：将整个处理过程记录下来，包括与多发员工的沟通记录、解决方案以及上级或相关部门的意见等，以备后续查阅和参考。

四、完善发放流程

为了避免类似情况再次发生，你需要对福利发放流程进行完善：

1. 加强审核：在发放福利前，加强审核环节，确保发放数量和人员准确无误。
2. 建立记录：建立详细的福利发放记录，包括发放时间、地点、数量、人员等信息，以便后续查阅和核对。
3. 培训员工：对负责福利发放的员工进行培训，提高他们的业务水平和责任心，减少疏忽和错误的发生。

五、保持积极态度

在整个处理过程中，要保持积极的态度和良好的心态。不要因为一次小错误而过分自责或沮丧，而是要从中吸取教训，努力改进工作方法和流程，提高工作效率和质量。

通过以上步骤，你可以妥善处理多发中秋福利的问题，并避免类似情况再次发生。同时，也能展现出你的责任心和专业素养，为单位的和谐稳定和发展做出贡献。