针对员工与企业私下协商好的赔偿到约定时间拒不执行的问题，首先明确结论：该私下协商的赔偿协议若具备法律效力，则员工拒不执行构成违约，企业有权通过法律途径追究其责任。以下从多个角度进行详细分析：

一、私下协商赔偿协议的法律效力

1. 协议内容合法性：私下协商的赔偿协议，只要其内容不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，且双方意思表示真实，即具有法律效力。这意味着，协议中的赔偿条款、金额、支付方式等均需合法合规。

2. 书面形式的重要性：虽然口头协议在某些情况下也具有法律效力，但为了避免争议和证明困难，建议将私下协商的赔偿协议以书面形式固定下来。书面协议能更清晰地反映双方的权利义务，为后续的法律救济提供有力证据。

二、员工拒不执行的法律后果

1. 违约责任：若私下协商的赔偿协议具有法律效力，员工拒不执行则构成违约。根据《民法典》的相关规定，违约方需承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。企业有权要求员工按照协议约定支付赔偿款。

2. 法律救济途径：

   • 协商解决：企业可以首先尝试与员工进行协商，寻求和解。这有助于维护双方的关系，避免不必要的法律纠纷。
   • 调解：若协商无果，企业可以寻求第三方调解机构的帮助，如劳动争议调解委员会等。调解是一种相对温和且成本较低的解决方式。
   • 仲裁或诉讼：若调解仍无法解决问题，企业可以根据协议中的仲裁条款或事后达成的仲裁协议，向仲裁机构申请仲裁；或者直接向人民法院提起诉讼，要求员工履行赔偿义务。

三、企业应对策略

1. 完善协议条款：在私下协商赔偿时，企业应确保协议条款明确、具体，包括赔偿金额、支付方式、支付时间等关键信息。同时，可以约定违约责任和争议解决方式，以增强协议的可执行性。

2. 保留证据：企业应妥善保管与私下协商赔偿相关的所有证据，如协议文本、沟通记录、支付凭证等。这些证据在后续的法律救济中至关重要。

3. 及时采取法律行动：一旦发现员工拒不执行赔偿协议，企业应及时采取法律行动，避免超过诉讼时效或仲裁时效。及时行动有助于维护企业的合法权益。

四、特殊情况考虑

1. 协议无效情形：若私下协商的赔偿协议存在欺诈、胁迫、乘人之危等情形，导致协议无效或可撤销，则企业可能无法直接依据协议追究员工责任。此时，企业应寻求法律途径确认协议无效或撤销协议，并重新主张权利。

2. 员工经济能力：在考虑追究员工责任时，企业还需关注员工的经济能力。若员工确实无力支付赔偿款，企业可以与员工协商分期支付或采取其他补救措施。

建议：企业在处理此类问题时，应咨询专业律师，以确保法律行动的合法性和有效性。同时，企业应加强内部管理，完善相关制度，避免类似纠纷的再次发生。若您有任何法律问题，可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律建议。