针对您提出的“医院的劳务派遣用工合同到期不予继续聘用是否可以申请N+1赔偿”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确“N+1”赔偿的具体含义。在劳务派遣合同中，“N”通常代表工作者的服务年限，即每个服务年度向劳动者支付一个月工资的经济补偿。当服务期超过六个月但不足一年时，通常会被视为一整年进行计算；若服务期未达到六个月，则一般只需支付半个月的工资作为经济补偿。而“+1”部分，主要是指代通知金，它通常在用人单位未能提前一个月告知劳动者终止雇佣关系时支付。
接下来，我们针对您的情况进行分析。您作为医院的劳务派遣员工，当合同到期且医院（即用工单位）决定不予继续聘用时，是否可以获得“N+1”赔偿，这主要取决于以下几个因素：
劳务派遣协议的规定：劳务派遣关系涉及到劳务派遣单位、用工单位及劳动者三方主体。因此，具体的赔偿责任承担方式，必须根据劳务派遣协议中的明文规定来确定。如果协议中明确规定了合同到期不续签时的赔偿方式，那么应按照协议执行。
相关法律法规的遵循：根据《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规，劳务派遣单位在合同到期不续签时，应当依法向劳动者支付经济补偿。如果劳务派遣单位未能提前一个月告知劳动者终止雇佣关系，且没有合理的理由（如劳动者严重违反规章制度等），那么劳动者有权要求支付代通知金。
实际情况的判断：在实际操作中，是否支付“N+1”赔偿还需要根据具体情况来判断。例如，如果劳务派遣单位在合同到期前已经提前告知了劳动者，并且按照法律法规和劳务派遣协议的规定支付了经济补偿，那么可能就不需要再支付代通知金。
综上所述，当医院的劳务派遣用工合同到期不予继续聘用时，您是否可以申请“N+1”赔偿，主要取决于劳务派遣协议的规定、相关法律法规的遵循以及实际情况的判断。如果劳务派遣单位未能按照法律法规和协议的规定支付经济补偿或代通知金，您有权通过法律途径维护自己的合法权益。
因此，我建议您在遇到此类情况时，首先仔细查阅劳务派遣协议和相关法律法规，了解自己的权益和义务。如果认为自己的权益受到了侵害，可以及时向劳务派遣单位或相关部门提出申诉或投诉，必要时也可以寻求法律援助或提起诉讼。