父亲不认私生子时，私生子及其监护人可以通过法律手段维护合法权益，具体处理方式如下：
一、收集证据，证明亲子关系
出生证明：出生证明是直接证明亲子关系的重要文件，具有法律效力。它记录了孩子的出生信息，包括父母姓名等，能明确孩子的身份。
证人证言：寻求知晓生育情况的亲友作为证人，他们的证言能够从侧面佐证亲子关系的存在。例如，了解生育过程的亲戚、朋友或邻居等，他们的陈述可以作为辅助证据。
亲子关系鉴定：这是最为直接、权威的证据。通过科学的检测手段，如DNA鉴定，可以确定亲子关系。如果生父拒绝配合进行鉴定，根据法律规定，当事人可以向法院申请强制鉴定，以确保私生子的合法权益得到维护。
二、运用法律手段，维护合法权益
协商：在收集到一定证据后，可以尝试与生父进行协商，要求其承认亲子关系并履行抚养义务。协商过程中，可以出示相关证据，以增加说服力。
起诉：如果协商无果，私生子及其监护人可以向法院提起诉讼，要求生父承认亲子关系并支付抚养费。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。
强制执行：如果生父在判决生效后仍不履行抚养义务，私生子及其监护人可以向法院申请强制执行。法院会采取相应措施，如查封、扣押、拍卖财产等，以确保抚养费得到支付。
三、考虑抚养费的给付期限和方式
给付期限：子女抚养费的给付期限一般至子女18岁为止。16岁以上不满18岁的子女，以其劳动收入为主要生活来源，并能维持当地一般生活水平的，父母可停止给付抚养费。子女虽满18岁但尚未独立生活的，如父母有给付能力，仍应负担必要的抚养费。
给付方式：抚养费应定期给付，有条件的可一次性给付。支付方式一般是按月支付，按月打入孩子抚养费的专用账户或在探视孩子时支付。如果对方同意一次性支付，且法院认为对方有实际支付能力，也可以一次性支付。
示例说明：
假设小明的生父不承认与小明的亲子关系，并拒绝支付抚养费。小明的母亲可以收集小明的出生证明、亲友的证人证言以及申请亲子关系鉴定等证据。然后，她可以尝试与小明的生父进行协商，要求其承认亲子关系并支付抚养费。如果协商无果，她可以向法院提起诉讼，要求小明的生父承认亲子关系并支付抚养费。在诉讼过程中，法院会根据双方提供的证据和法律规定作出判决。如果判决生效后小明的生父仍不履行抚养义务，小明的母亲可以向法院申请强制执行。
特别提醒：
在处理此类纠纷时，建议私生子及其监护人保持冷静和理性，通过合法途径维护自身权益。同时，也要尊重法律程序和法院的判决结果。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。