结论前置：针对您父亲在船上工作未满一个月发生中风，老板不管的情况，是否可以起诉老板取决于中风是否与工作有关以及是否存在劳动关系。若存在劳动关系且中风与工作有关，您可以考虑通过法律途径维护权益。
一、劳动关系确认
首先，需要确认您父亲与老板之间是否存在劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，劳动关系是指用人单位招用劳动者为其成员，劳动者在用人单位的管理下提供有报酬的劳动而产生的权利义务关系。如果存在书面劳动合同，则劳动关系明确；如果没有书面合同，但存在事实劳动关系（如实际提供劳动、接受管理、获取报酬等），也可以通过证据来证明。
证据收集：
- 工作证、服务证等能够证明身份的证件；
- 工资支付记录、社保缴纳记录等；
- 同事的证言；
- 工作记录、考勤记录等。
二、工伤认定
如果确认存在劳动关系，接下来需要判断中风是否属于工伤。根据《工伤保险条例》的规定，工伤通常指在工作时间内、因工作原因受到的事故伤害或患职业病。中风是否属于工伤，需要看其是否与工作有直接的因果关系，比如是否因工作过度劳累、工作环境恶劣等因素导致。
工伤认定流程：
- 申请：用人单位应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。用人单位未按规定提出工伤认定申请的，工伤职工或其近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 审核：社会保险行政部门受理工伤认定申请后，根据审核需要可以对事故伤害进行调查核实，用人单位、职工、工会组织、医疗机构以及有关部门应当予以协助。
- 决定：社会保险行政部门应当自受理工伤认定申请之日起60日内作出工伤认定的决定，并书面通知申请工伤认定的职工或其近亲属和该职工所在单位。
三、法律责任与赔偿
如果中风被认定为工伤，那么老板（用人单位）应承担相应的工伤保险责任，包括支付医疗费用、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。如果老板未购买工伤保险，那么这些费用应由老板自行承担。
赔偿项目：
- 医疗费用：符合工伤保险诊疗项目目录、工伤保险药品目录、工伤保险住院服务标准的费用。
- 停工留薪期工资：原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。
- 一次性伤残补助金：根据伤残等级支付。
- 其他费用：如护理费、交通费、食宿费等，根据实际情况确定。
四、非工伤情况的处理
如果中风不被认定为工伤，那么您父亲可能无法直接通过工伤保险获得赔偿。但您可以考虑以下途径：
- 与老板协商：尝试与老板沟通，看是否能够获得一定的经济补偿或帮助。
- 民事诉讼：如果老板存在过错（如未提供安全的工作环境、未履行必要的照顾义务等），您可以考虑提起民事诉讼，要求老板承担相应的赔偿责任。但需要注意的是，民事诉讼的举证责任较重，需要您提供充分的证据来证明老板的过错。
五、建议与行动
- 收集证据：尽快收集能够证明劳动关系、中风与工作有关的证据。
- 申请工伤认定：如果认为中风与工作有关，应及时向社会保险行政部门申请工伤认定。
- 咨询专业律师：在处理此类复杂法律问题时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
最后，如果您有任何进一步的法律问题或需要更具体的帮助，请直接向我咨询。