结论前置：幼儿园和员工签署非全日制合同后，如果幼儿园存在违法行为或违反合同约定，员工是可以起诉幼儿园的。以下从多个角度进行分析：
一、非全日制合同的法律性质
非全日制合同，即非全日制用工合同，是劳动者与用人单位约定的以小时作为工作时间单位确立劳动关系的一种协议。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，非全日制用工双方当事人可以订立口头协议，且非全日制用工小时计酬标准不得低于用人单位所在地人民政府规定的最低小时工资标准，劳动报酬结算支付周期最长不得超过十五日。
二、起诉幼儿园的法律依据
劳动合同法保护：无论是全日制还是非全日制用工，劳动者与用人单位之间都建立了劳动关系，受到《中华人民共和国劳动合同法》的保护。如果幼儿园存在未按照约定支付劳动报酬、未提供劳动保护或劳动条件、违法解除或终止合同等行为，员工都有权依据劳动合同法提起诉讼。
侵权责任：如果幼儿园的行为不仅违反了劳动合同法的规定，还侵犯了员工的合法权益（如人身权、财产权等），员工还可以依据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，向幼儿园主张侵权责任。
三、起诉的具体情形
拖欠工资：如果幼儿园未按照约定支付非全日制员工的劳动报酬，员工可以起诉幼儿园要求支付拖欠的工资及可能的违约金或赔偿金。
违法解除合同：如果幼儿园无正当理由违法解除非全日制用工合同，员工可以起诉幼儿园要求继续履行合同或支付赔偿金。
未提供劳动保护或条件：如果幼儿园未提供必要的劳动保护或劳动条件，导致员工受到损害，员工可以起诉幼儿园要求赔偿损失。
四、起诉的流程与注意事项
收集证据：员工在起诉前应收集好与幼儿园签订的合同、工资支付记录、工作记录、沟通记录等相关证据，以证明自己的主张。
咨询律师：在起诉前，员工可以咨询专业律师（如我，冯浩律师，专注于经济纠纷、合同纠纷领域），了解自己的权益和起诉的可行性。
提交起诉状：员工应向有管辖权的人民法院提交起诉状，并附上相关证据材料。
参与诉讼：在诉讼过程中，员工应积极参与，按照法院的要求提供证据、出庭辩论等。
法律建议：如果你作为非全日制员工，认为幼儿园存在违法行为或违反合同约定，损害了你的合法权益，不要犹豫，直接向我咨询或提起诉讼。在诉讼过程中，务必保持冷静、理性，按照法律程序进行操作，以维护自己的合法权益。