结论：司机被判全责在新闻背景所描述的情形下是合理的。以下结合新闻背景，从多个维度进行分析。

一、法律定性及责任划分

1. 侵权行为认定：

   • 根据新闻描述，司机未经允许私自将车开进狗主人的院子调头，导致在院子休息的狗狗被碾死。这一行为构成了对狗主人财产权的侵害，因为狗狗作为狗主人的个人财产，受到了司机的直接损害。
   • 从法律角度看，司机的行为属于过失侵权，即因疏忽大意或过于自信而导致他人财产受损。

2. 责任划分依据：

   • 在此类案件中，责任划分主要依据行为人的过错程度、行为与损害结果之间的因果关系等因素。
   • 新闻中司机未经允许进入他人院子，且未尽到合理的注意义务，导致狗狗被碾死，显然存在过错。因此，司机被判全责是合理的。

二、涉及的法律条文

• 虽然直接的法律条文可能并未明确提及“狗狗在自家院子被碾死”的情形，但可以根据《民法典》中关于侵权责任的相关规定进行推断。
• 《民法典》第一千一百六十五条规定：“行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。”这一条文为司机承担全责提供了法律依据。

三、赔偿金额的合理性

1. 赔偿依据：

   • 狗主人要求司机赔偿2000元，是基于狗狗的购买价格（3680元）以及八年的饲养情感价值等因素。虽然情感价值难以量化，但购买价格可以作为赔偿的参考依据之一。
   • 司机认为赔偿金额过高，但最终通过车强险赔付了狗主人2000元，说明这一金额在法律和保险范围内是被接受的。

2. 赔偿计算：

   • 赔偿金额并非固定不变，而是根据实际情况进行协商或判决。在此案中，双方争执不下后选择了报警，并最终由法院判决司机全责并赔付2000元。
   • 赔偿金额的计算可能考虑了狗狗的购买价格、饲养成本、情感价值以及司机的过错程度等因素。

四、对公众的启示

1. 尊重他人财产权：

   • 司机未经允许进入他人院子并导致狗狗被碾死，提醒公众要尊重他人的财产权，不得随意侵犯。

2. 增强法律意识：

   • 此类事件提醒公众要增强法律意识，了解自己的权利和义务，避免因疏忽大意或过于自信而导致法律纠纷。

3. 合理处理纠纷：

   • 当发生类似纠纷时，双方应理性沟通、协商解决。如无法达成一致，可寻求法律途径解决，避免情绪化表达和过激行为。

总结与建议：司机被判全责在新闻背景所描述的情形下是合理的。这提醒公众要尊重他人财产权、增强法律意识，并在发生纠纷时合理处理。如果您或身边的人遇到类似法律问题，可以直接向我咨询，我会提供专业的法律建议。