结论概述：结合新闻背景，司机报警后警方处理程序合规，最终判定司机全责并通过车强险赔付狗主人2000元，符合法律程序。以下从法律定性、处理程序合规性、赔偿合理性三个维度展开分析。

一、法律定性：司机行为构成侵权，需承担民事责任

根据《民法典》第1165条：“行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。”本案中，司机未经允许擅自将车辆开入狗主人的私人院子调头，导致狗被碾压致死，存在明显过错。狗作为狗主人的合法财产，其死亡直接造成狗主人的财产损失，司机需承担侵权赔偿责任。

关键点：

• 司机行为具有违法性（未经允许进入私人领域）；
• 存在因果关系（司机行为直接导致狗死亡）；
• 狗主人无过错（狗在自家院子休息，未主动引发危险）。

二、处理程序合规性：报警后警方处理程序符合法律规定

司机报警后，警方介入处理并判定司机全责，程序合法。根据《道路交通安全法》及《治安管理处罚法》相关规定，警方有权对交通事故或财产损害纠纷进行调查并作出责任认定。本案中，警方通过现场勘查、询问双方及调取证据，认定司机未尽到合理注意义务，导致狗死亡，判定其全责，程序无违规。

具体流程：

1. 报警：司机或狗主人报警后，警方到场；
2. 现场勘查：警方调查车辆行驶轨迹、狗的位置等；
3. 询问双方：了解事件经过及争议焦点；
4. 责任认定：根据证据判定司机全责；
5. 赔偿调解：引导双方协商赔偿金额，或通过车强险赔付。

三、赔偿合理性：2000元赔偿符合法律与市场价值

狗主人要求赔偿2000元，司机认为“黑心”，但最终通过车强险赔付2000元，符合法律与市场价值。根据《民法典》第1184条：“侵害他人财产的，财产损失按照损失发生时的市场价格或者其他合理方式计算。”狗主人称狗购买价格为3680元，养了八年，存在情感价值，但法律上赔偿以市场价值或实际损失为限。2000元赔偿金额可能综合考虑了狗的购买价格、饲养成本及市场同类犬只价值，属于合理范围。

延伸思考：

• 情感价值赔偿：法律上一般不支持情感价值赔偿，但若狗具有特殊意义（如导盲犬），可能酌情增加；
• 车强险赔付：司机通过车强险赔付，说明车辆投保了交强险，保险公司需在责任限额内赔付。

四、对公众的启示：宠物主人与司机均需注意

1. 宠物主人：

   • 尽量将宠物限制在安全区域内（如室内或围栏内），避免在院子等开放区域自由活动；
   • 可在院子设置警示标志（如“内有宠物”），降低他人误入风险。

2. 司机：

   • 进入私人领域前需征得同意，避免擅自调头或停车；
   • 行驶时注意观察周围环境，尤其是可能有宠物出没的区域。

总结：本案中，司机报警后警方处理程序合规，最终判定司机全责并通过车强险赔付2000元，符合法律与市场价值。若您遇到类似纠纷，可保留证据（如现场照片、视频、购买凭证等），通过协商或法律途径解决。有问题直接向我咨询，我会为您提供专业法律建议。