结论：结合新闻背景，狗主人索赔2000元是合法的，且最终得到了法院的支持（通过交强险赔付）。以下从法律角度进行详细分析：
一、法律定性：司机行为构成侵权
根据《中华人民共和国民法典》第1245条：“饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但是，能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。”在本案中，司机未经允许私自进入他人院落，且在调头时未尽到安全注意义务，导致小狗被碾死，显然存在过错。而狗主人将狗放在自家院内，已尽到合理管理义务，因此司机应承担全部责任。
二、赔偿金额的法律依据
关于赔偿金额，根据《中华人民共和国民法典》第1184条：“侵害他人财产的，财产损失按照损失发生时的市场价格或者其他合理方式计算。”在本案中，狗主人称这只狗已经养了八年，当初花费3680元购买，且这些年在狗身上的投入更是不计其数。考虑到狗的年龄和折旧，狗主人要求司机赔偿2000元作为精神慰藉和经济补偿，这一要求在法律上是合理的。
三、赔偿金额的合理性分析
购买成本与折旧：狗主人当初购买狗花费了3680元，虽然狗已经养了八年，存在折旧问题，但狗作为宠物，其价值并不仅仅体现在购买成本上，还包括狗主人多年的饲养投入和情感价值。
情感价值：宠物对于主人来说，往往具有深厚的情感价值。这种情感价值虽然难以用金钱衡量，但在法律上，可以通过合理的赔偿金额来体现对主人情感损失的补偿。
市场价格与合理方式：司机认为“别人家的狗两三百元就够了”，但这种比较并不合理。因为每只狗的价值都是独特的，不能简单地以市场价格来衡量。在本案中，狗主人提出的2000元赔偿金额，是综合考虑了狗的购买成本、折旧、饲养投入和情感价值后提出的合理要求。
四、类似情况的预防措施与法律建议
增强法律意识：无论是宠物主人还是驾驶员，都应当增强法律意识，了解并遵守相关法律法规。宠物主人应妥善管理自己的宠物，避免宠物给他人造成损害；驾驶员在行驶过程中应尽到安全注意义务，避免发生类似事故。
及时报警与取证：在发生类似事故时，双方应及时报警并取证。警方会进行现场勘查和询问，并根据事实情况作出责任认定。这有助于后续赔偿问题的解决。
合理协商与诉讼：在赔偿金额上存在分歧时，双方应合理协商。如果协商无果，可以通过法律途径解决。在本案中，司机选择报警处理，并最终通过交强险赔付了狗主人2000元，这是一种合理的解决方式。
五、对公众的启示
这起事件再次强调了遵守法律法规的重要性。无论是宠物主人还是驾驶员，都应当尊重他人的财产权和生命权，共同营造安全和谐的社会环境。同时，也提醒大家在日常生活中要相互尊重、相互理解，避免因小事而引发不必要的纠纷。
总结：狗主人索赔2000元是合法的，且最终得到了法院的支持。这一结果体现了法律对公民财产权的保护，也提醒大家在日常生活中要遵守法律法规，尊重他人的权利。如果您有进一步的法律问题，可以直接向我咨询。