在公路上司机开车压死宠物狗，责任判定需根据具体情况来分析，以下从不同角度进行说明：
一、司机需承担责任的情况
狗有主人且正常拴养：
- 若狗是有主人的，并且在外出时按照规定系了狗绳，处于主人的有效管控之下，此时司机因自身疏忽大意、超速行驶、违规驾驶等原因压死狗，构成对他人财产的损害，需承担相应责任。赔偿金额通常以狗的实际价值为准，包括购买费用、品种价值等。
特定场所未避让：
- 在宠物活动区域，如宠物公园、宠物友好街区等，司机应对可能出现的宠物保持更高注意义务。若在这些区域压死狗，即使狗未拴绳，司机也可能因未尽谨慎驾驶义务而承担一定责任。
司机存在过错：
- 如司机存在违规驾驶、超速、酒驾等过错行为，导致狗被压死，应承担相应的赔偿责任。
二、司机无需承担责任或承担次要责任的情况
狗未拴绳且主人管理不当：
- 依据《中华人民共和国动物防疫法》，携带犬只出户应佩戴犬牌并采取系犬绳等措施。若狗未拴绳，主人未有效管理，导致狗跑到马路上被压死，司机在正常行驶且无违规行为的情况下，通常不需承担责任。
紧急避险：
- 若司机为避免更严重的危害结果（如躲避行人、其他车辆等突发情况），不得已压死狗，可能构成紧急避险。根据法律规定，紧急避险人不承担民事责任，但可给予适当补偿。若险情由自然原因引起，紧急避险人同样不承担民事责任或仅给予适当补偿。
不可抗力或意外事件：
- 如地震、山体滑坡等不可抗力因素导致事故发生，或狗突然窜出司机无法避免，则司机一般不承担赔偿责任。
三、责任判定与处理流程
报警处理：
- 发生事故后应立即报警，公安机关交通管理部门会派员现场勘验、检查并出具事故责任认定书。
协商赔偿：
- 双方对事故责任无异议时，可协商赔偿事宜，赔偿金额通常按宠物狗的市场价值估算，并考虑其特殊价值（如导盲犬、搜救犬等）。
法律途径：
- 若对事故责任或赔偿金额有争议，可通过法律途径解决，如向法院提起诉讼。
四、法律依据
- 《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条：饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但是，能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。
- 《中华人民共和国道路交通安全法》等相关规定，关于机动车行驶速度、安全注意义务及交通事故责任认定的条款。
总结来说，在公路上司机开车压死宠物狗，责任判定需综合考虑司机的过错、狗的管理状态以及紧急避险等因素。在处理此类事件时，应遵循法律法规，同时注重实际情况的考量，以确保公平合理地解决纠纷。若您遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。