可以起诉宠物店，但能否胜诉取决于宠物店是否存在过错及过错与流浪猫死亡之间的因果关系。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律关系认定
在宠物寄养场景中，您与宠物店之间通常形成的是保管合同关系。根据《民法典》的相关规定，保管人（宠物店）有义务妥善保管保管物（流浪猫），并在保管期满后将保管物完好返还给寄存人（您）。若宠物店在寄养期间未能履行妥善保管义务，导致流浪猫死亡，那么宠物店应当承担相应的赔偿责任。
二、起诉条件与证据收集
起诉条件：
- 您与宠物店之间存在有效的保管合同关系；
- 宠物店在寄养期间未能履行妥善保管义务；
- 流浪猫的死亡与宠物店的过错行为之间存在因果关系。
证据收集：
- 寄养协议：证明您与宠物店之间存在保管合同关系；
- 支付凭证：如转账记录、收据等，证明您已支付寄养费用；
- 死亡证明：由兽医或相关机构出具的流浪猫死亡证明；
- 沟通记录：如与宠物店的微信聊天记录、电话录音等，证明您曾就流浪猫的死亡与宠物店进行沟通；
- 其他证据：如现场照片、视频等，证明宠物店在寄养期间存在过错行为。
三、可能面临的法律后果
若宠物店存在过错：
- 宠物店应当承担赔偿责任，赔偿您因流浪猫死亡所遭受的损失，包括但不限于流浪猫的购买价值（如有）、饲养费用、精神损害抚慰金等；
- 若宠物店与您之间存在赔偿协议，但宠物店未能履行，您还可以要求宠物店按照协议约定支付赔偿款及相应利息。
若宠物店不存在过错：
- 宠物店无需承担赔偿责任；
- 但若宠物店自愿给予您一定的补偿，这属于民事自治范畴，法律不予干涉。
四、建议与注意事项
- 及时沟通：在发现流浪猫死亡后，您应及时与宠物店进行沟通，了解死亡原因，并要求宠物店给出合理的解释和赔偿方案；
- 保留证据：在沟通过程中，您应注意保留相关证据，如沟通记录、现场照片等；
- 咨询律师：若您与宠物店无法就赔偿事宜达成一致，您可以咨询专业律师，了解您的法律权益和维权途径；
- 起诉准备：若决定起诉宠物店，您应准备充分的证据材料，并按照法院的要求提交起诉状和相关证据。
举例说明：假设您将流浪猫寄养在某宠物店，并支付了寄养费用。在寄养期间，流浪猫因宠物店未提供适宜的生活环境而死亡。此时，您可以收集寄养协议、支付凭证、死亡证明等证据材料，并起诉宠物店要求其承担赔偿责任。若法院认定宠物店存在过错，那么宠物店应当按照法律规定或双方约定向您支付赔偿款。
最后，建议您在处理此类纠纷时保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果您在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。