当遇到交警建议私了但未出具责任书，同时您又需要报保险的情况时，您可以按照以下步骤来处理：

一、保留现场证据

1. 拍照取证：在事故现场，尽可能多地拍摄照片，包括车辆损坏情况、事故现场环境、交通标志等，这些照片将作为后续处理的重要依据。
2. 记录双方信息：确保记录下对方的姓名、联系方式、车牌号等关键信息，以便后续联系和沟通。

二、签订私了协议

1. 明确责任划分：在私了协议中，要清晰明确地划分双方的责任，这是后续赔偿和保险理赔的基础。
2. 确定赔偿金额：根据责任划分，协商确定赔偿金额，并在协议中明确写出。
3. 双方签字确认：协议签订后，双方必须签字确认，以确保协议的法律效力。

三、及时向保险公司报案

1. 说明情况：在报案时，要详细说明事故情况，包括事故发生的时间、地点、经过以及私了的情况。
2. 提供证据：将现场照片、私了协议等证据提供给保险公司，以便他们进行后续的处理和理赔。
3. 遵循保险公司指导：根据保险公司的要求，提供必要的文件和资料，配合他们完成理赔流程。

四、关注后续问题

1. 发现新问题及时处理：如果私了后发现新的伤情或损失，应立即联系交警重新介入调查，并出具责任书。
2. 处理医疗费用：如果涉及医疗费用，要保留好相关的医疗发票和诊断证明，以便后续索赔。
3. 履行协议或维权：如果对方不按照私了协议履行赔偿责任，您可以凭借协议和证据通过法律途径来维护自己的权益。

五、法律风险提示

1. 赔偿风险：没有责任认定书，如果后续发现受伤情况加重或有新的损失，双方可能就赔偿比例产生争议。
2. 保险理赔受阻：多数保险公司理赔需要责任认定书作为重要依据，没有认定书可能导致理赔困难或纠纷。
3. 纠纷解决难度：一旦双方对私了内容反悔，缺乏责任认定书这一法定文书来确定责任，很难通过法律途径高效解决纠纷。

总结：在遇到交警建议私了但未出具责任书的情况时，您需要保留现场证据、签订私了协议、及时向保险公司报案，并关注后续问题。同时，要意识到没有责任认定书可能带来的法律风险，并在必要时通过法律途径来维护自己的权益。希望这些建议能对您有所帮助。