面对员工未签劳动合同就擅自离职的情况，作为用人单位，我们需要采取一系列合理且合法的措施来保障自身的权益。以下是我为您详细梳理的处理步骤和建议：
一、了解离职原因并尝试协商
首先，建议您尽快与该员工进行沟通，了解其突然离职的具体原因。有时候，员工可能因为个人原因或对工作环境不满而选择离职。通过沟通，您可以尝试协商解决办法，比如询问员工是否可以继续工作一段时间，以便公司能够做好工作交接，减少因员工离职带来的损失。
二、收集证据证明劳动关系
如果员工已经实际离职，且无法通过协商解决问题，那么您需要收集相关证据来证明双方存在劳动关系。这些证据可以包括：
这些证据在后续的劳动仲裁或法律诉讼中可能会起到关键作用。
三、要求支付未签合同的双倍工资
根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，如果员工在职时间超过一个月但未满一年，且未签订书面劳动合同，您有权要求员工支付未签合同期间的双倍工资。但请注意，此主张有一年的时效限制，即应在离职之日起一年内提出。
四、评估经济损失并考虑赔偿
员工擅自离职可能会给公司带来经济损失，比如正在进行的项目被延误、客户流失等。在这种情况下，您需要评估这些损失的具体金额，并考虑是否要求员工进行赔偿。如果要求赔偿，您必须能够提供充分的证据来证明损失确实存在以及具体金额。
五、完善人事管理制度并签订书面合同
为了避免类似纠纷的再次发生，我强烈建议您尽快完善公司的人事管理制度，并与每一位员工签订书面形式的劳动合同。劳动合同应明确规定双方的权利和义务，包括工作内容、工作地点、工作时间、薪资待遇、离职条件等。这样不仅可以保障员工的合法权益，也可以有效维护公司的利益。
六、法律途径解决争议
如果与员工无法就上述问题达成一致，您可以考虑通过法律途径来解决争议。这包括向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁或提起民事诉讼等。在采取法律行动之前，请确保您已经收集了充分的证据来支持您的主张。
总之，面对员工未签劳动合同就擅自离职的情况，您需要保持冷静并采取合理且合法的措施来保障自身的权益。通过沟通协商、收集证据、要求支付双倍工资、评估经济损失并考虑赔偿、完善人事管理制度以及必要时采取法律途径解决争议，您可以有效地应对这一挑战。