结论前置：针对教师因工作调动造成断聘但实际仍在岗的情况，可从以下角度进行补救：

1. 与现单位协商补签聘用合同
   根据《劳动合同法》第十条，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。若因调动导致原合同终止但劳动关系存续，现工作单位有义务与您补签书面合同，否则可能面临支付双倍工资的风险（《劳动合同法》第八十二条）。
   操作建议：主动与学校人事部门沟通，明确岗位、薪资、期限等关键条款，并要求出具书面聘用文件。若学校拖延，可留存考勤记录、工作证、工资发放记录等证据，以备后续维权。

2. 向原单位主张权利（如涉及）
   若断聘系原单位未依法办理离职手续导致（如未出具解除证明、未转移档案），根据《劳动合同法》第五十条，原单位需承担行政责任（如劳动行政部门责令改正）。
   操作建议：若原单位行为影响您在新单位的权益（如社保缴纳、职称评定），可要求原单位出具书面离职证明，并同步向当地劳动监察部门投诉。

3. 通过教育主管部门协调
   教师调动常涉及编制、岗位核定等行政程序，若断聘因程序滞后导致，可向当地教育局或人社局提交书面申请，说明实际工作情况，要求协调补办聘用手续。
   依据：根据《事业单位人事管理条例》第九条，事业单位公开招聘工作人员需签订聘用合同，但实践中可通过行政程序补正。

4. 法律救济途径
   若单位拒绝补签合同且协商无果，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张：

   • 确认与现单位存在事实劳动关系；
     
   • 补签书面聘用合同；
     
   • 支付未签合同期间的双倍工资差额（如适用）。
     时效提示：劳动争议申请仲裁的时效为1年，自知道或应当知道权利被侵害之日起计算。

关键提醒：

• 保留所有能证明实际工作的证据（如工作记录、学生评价、同事证言）；
  
• 避免因“断聘”影响社保缴纳、职称评定等权益，及时要求单位补办手续；
  
• 若涉及编制问题，需同步关注当地事业单位人事管理政策。
  

如有进一步细节（如调动是否跨区、原合同终止原因等），可补充说明，我将为您细化分析。