结论是：退休时按原单位名称办理退休手续，通常可以算作退休前该单位的职工，但具体还需根据单位变更情况、劳动合同及社保缴纳记录等因素综合判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、单位名称变更但主体未变的情况
法律关系连续性：
- 如果单位仅仅是名称发生了变更，而其法律主体（如统一社会信用代码、法人资格等）并未改变，那么您与该单位的劳动关系在法律上仍然是连续的。
- 在这种情况下，您退休时按原单位名称办理退休手续，不会影响您作为该单位职工的身份认定。
社保缴纳记录：
- 社保缴纳记录是证明您与单位劳动关系的重要证据。如果您的社保一直由该单位缴纳，且缴纳记录连续无中断，那么这进一步证明了您与该单位的劳动关系。
二、单位名称变更且主体发生变更的情况
劳动关系转移：
- 如果单位名称变更的同时，其法律主体也发生了变更（如原单位注销，新单位成立），那么您与原单位的劳动关系可能因此终止。
- 在这种情况下，您是否算作退休前原单位的职工，可能需要根据您与新单位是否重新签订了劳动合同、新单位是否承认您在原单位的工作年限等因素来判断。
劳动合同与协议：
- 如果您与原单位签订了劳动合同，且合同中未明确约定单位名称变更后劳动关系的处理方式，那么您可能需要与新单位协商确定劳动关系的延续问题。
- 如果新单位承认您在原单位的工作年限，并愿意为您办理退休手续，那么您仍然可以算作退休前原单位的职工（在工龄计算等方面）。
三、实际操作与建议
核实单位变更情况：
- 您可以向原单位或新单位的人事部门核实单位变更的具体情况，包括法律主体是否变更、劳动关系是否转移等。
查阅劳动合同与社保记录：
- 查阅您与原单位签订的劳动合同，以及您的社保缴纳记录，这些资料将有助于您证明与原单位的劳动关系。
咨询与维权：
- 如果您对单位变更后的劳动关系认定有疑问，或者认为自己的权益受到了侵害，您可以向当地的劳动行政部门咨询或投诉。
- 必要时，您也可以寻求法律援助或提起劳动争议仲裁/诉讼，以维护自己的合法权益。
举例说明：假设您原在A公司工作，后A公司更名为B公司，但法律主体未变。您退休时按A公司名称办理了退休手续。由于A公司与B公司为同一法律主体，因此您仍然可以算作退休前A公司（现B公司）的职工。但如果A公司注销，新成立了C公司，且您未与C公司重新签订劳动合同，那么您是否算作退休前A公司的职工，就需要根据C公司是否承认您在A公司的工作年限等因素来判断了。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您还有其他疑问或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。