机构老师签了竞业协议后，是否能兼职其他机构，需要分情况来看：

1. 查看竞业协议具体条款：

   • 竞业协议中通常会明确禁止在竞争企业兼职，以及对兼职范围的界定。因此，首先要仔细研读协议内容，明确其中关于禁止兼职的具体规定。
   • 如果协议中明确列出了禁止兼职的机构或行业范围，那么在这些范围内兼职就是违反协议的。

2. 判断兼职是否违反竞业限制：

   • 如果兼职的公司属于竞业协议中明确禁止的竞争企业，那么这种兼职行为无疑是违反竞业协议的。
   • 若兼职工作与原单位不存在竞争关系，例如教授的课程或提供的服务与原机构完全不同，且不涉及利用原单位商业秘密等损害原单位利益的情况，那么从竞业限制的角度来看，一般可以兼职。但需注意，这并不意味着完全不受限制，还需考虑其他因素。

3. 考虑保密义务：

   • 即便兼职单位不属于竞业限制范围，但如果兼职工作可能涉及接触和使用原单位的商业秘密等保密信息，那么仍需谨慎。
   • 老师作为教育工作者，可能掌握着原机构的教学资料、学生信息等敏感内容。在兼职时，必须确保不会因兼职而泄露原单位机密，否则可能承担违约责任。

4. 遵循协议约定：

   • 严格按照竞业协议中约定的时间、地域、范围等限制履行义务。这是遵守协议的基本要求。
   • 若不确定兼职是否可行，最好与原单位进行沟通，获得明确答复后再行动。这样可以避免因误解协议内容而违反竞业协议，进而面临法律责任。

法律建议：

• 在决定兼职前，务必仔细阅读竞业协议，并咨询法律专业人士（比如我，王琳律师，就擅长处理此类问题）的意见，以确保自己的行为符合协议要求。
• 如果协议内容模糊或存在争议，建议与原单位协商修改或补充协议，以明确双方的权利和义务。
• 在兼职过程中，要时刻保持警惕，确保不会泄露原单位的商业秘密或其他敏感信息。

可能的法律后果：

• 如果违反竞业协议，原单位有权要求你承担违约责任，包括但不限于赔偿损失、支付违约金等。
• 在严重情况下，原单位还可能通过法律途径追究你的法律责任，影响你的职业声誉和未来发展。

因此，机构老师在签了竞业协议后，是否能兼职其他机构，需要综合考虑协议内容、兼职性质、保密义务以及法律后果等多方面因素。如果有任何疑问或不确定的地方，欢迎直接向我咨询。