结论：无论护士是否在诊所注册，只要其与诊所之间存在事实上的劳动关系，诊所都应当与其签订劳动合同。未签订劳动合同可能面临法律责任。

分析：

1. 劳动关系的认定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，劳动关系是指用人单位与劳动者之间，依法所确立的劳动过程中的权利义务关系。这种关系的确立并不完全依赖于是否签订了书面劳动合同，而是基于事实上的劳动行为。
   • 在本案例中，护士自3月10号至5月21号在诊所工作，即使未注册，但只要其实际提供了劳动服务，且诊所接受了这种服务并支付了报酬，那么双方之间就存在事实上的劳动关系。

2. 劳动合同的签订：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条：“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。”
   • 这意味着，无论护士是否注册，只要其与诊所之间存在劳动关系，诊所就应当在用工之日起一个月内与其签订书面劳动合同。

3. 未签订劳动合同的法律责任：

   • 如果诊所未与护士签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
   • 此外，未签订劳动合同还可能影响劳动者的权益保护，如社会保险的缴纳、工伤的认定与赔偿等。

4. 护士注册与劳动合同的关系：

   • 护士的注册是其从事护理工作的法定条件，但并不影响其与诊所之间劳动关系的认定。即使护士未注册，只要其实际提供了劳动服务，且诊所接受了这种服务，双方之间的劳动关系就依然存在。
   • 诊所不能以护士未注册为由拒绝签订劳动合同或逃避法律责任。

建议：

• 诊所应当尽快与护士签订书面劳动合同，以明确双方的权利义务关系，避免法律风险。
• 护士也应当了解自己的权益，如果诊所拒绝签订劳动合同或存在其他违法行为，可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

后续行动：

• 如果您或诊所方面对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况提供详细的法律建议和解决方案。