针对孩子被猫咬伤且医院鉴定为三级的情况，您可以按照以下步骤进行起诉：

一、明确起诉对象与责任

1. 确定责任主体：

   • 若猫有明确的主人，则猫的主人应作为被告。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，动物饲养人或者管理人应当对其饲养或管理的动物造成的他人损害承担侵权责任。
   • 若猫为流浪猫，且无法确定其原饲养人或管理人，但存在管理不善的场所（如小区、公园等），则可能需追究相关管理方的责任，这需要根据具体情况判断。

2. 评估责任比例：

   • 考虑孩子自身是否存在过错，如是否主动挑衅猫等。若孩子存在过错，可能减轻被告的责任比例。

二、收集证据

1. 医疗证据：

   • 保留好医院出具的诊断证明、治疗记录、费用清单等，以证明孩子的伤情及治疗费用。
   • 特别注意保留三级咬伤的相关鉴定材料，这是证明伤情严重程度的关键证据。

2. 现场证据：

   • 若可能，拍摄现场照片或视频，记录猫咬人的情况、环境等。
   • 寻找目击者，并获取其联系方式，以便在需要时出庭作证。

3. 其他证据：

   • 收集与猫主人或管理方的沟通记录，如微信聊天记录、电话录音等，以证明对方对事件的态度及处理情况。

三、准备起诉材料

1. 起诉状：

   • 撰写起诉状，明确原告（孩子及其法定代理人）、被告（猫主人或相关管理方）、诉讼请求（如赔偿医疗费、护理费、精神损害抚慰金等）、事实与理由等。
   • 起诉状应详细、清晰地陈述事件经过、责任划分及赔偿请求。

2. 证据材料：

   • 将收集到的所有证据材料整理成册，并附上证据清单。
   • 证据材料应真实、合法、有效，能够支持起诉状的诉讼请求。

四、向法院提起诉讼

1. 选择管辖法院：

   • 根据被告住所地或侵权行为地（如孩子被咬伤的地点）选择管辖法院。

2. 提交起诉材料：

   • 将起诉状及证据材料提交至选定的法院，并缴纳诉讼费。
   • 法院在受理案件后，会安排开庭时间，并通知双方当事人。

五、参与诉讼过程

1. 出庭应诉：

   • 按照法院通知的时间、地点出庭应诉。
   • 在庭审过程中，陈述事实、提供证据、进行辩论等。

2. 接受调解或判决：

   • 法院在审理过程中，可能会组织双方进行调解。若调解成功，双方可签订调解协议；若调解不成，法院将作出判决。
   • 无论调解还是判决，都应遵守法院的决定，并履行相应的义务。

六、后续执行与救济

1. 执行判决：

   • 若被告未按照判决履行义务，可向法院申请强制执行。

2. 救济途径：

   • 若对判决结果不服，可在法定期限内提起上诉或申请再审。

在起诉过程中，建议您注意以下几点：

• 保持冷静与理性，避免情绪化行为影响诉讼进程。
• 及时与法院沟通，了解案件进展情况。
• 若对法律程序不熟悉，可考虑聘请专业律师协助处理。

如有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业、全面的法律服务。