结论前置：厨师在工作中手指受伤且伤情较重（甲床破损、接了血管），用人单位的赔偿责任需根据具体情况确定，主要涉及工伤认定及赔偿、未缴纳工伤保险的赔偿、未签订劳动合同的双倍工资赔偿等几个方面。以下是详细分析：

1. 工伤认定及赔偿

   • 工伤认定：根据《工伤保险条例》第十四条，厨师在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。因此，厨师的手指受伤情况符合工伤认定的基本条件。
   • 赔偿项目：一旦认定为工伤，厨师有权享受工伤保险待遇，包括医疗费、住院伙食补助费、交通费、食宿费、康复治疗费、辅助器具费、停工留薪期工资、护理费以及一次性伤残补助金等。具体赔偿金额需根据伤残等级（需通过劳动能力鉴定确定）和当地标准计算。
   • 申请流程：用人单位应在事故伤害发生之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若用人单位未按规定提出申请，厨师或其近亲属、工会组织可在1年内直接提出申请。

2. 未缴纳工伤保险的赔偿

   • 用人单位责任：若用人单位未依法为厨师缴纳工伤保险费，根据《工伤保险条例》第六十二条，发生工伤事故后，由用人单位支付工伤保险待遇。这意味着，所有本应由工伤保险基金支付的费用，都将转由用人单位承担。
   • 赔偿范围：包括但不限于医疗费、伤残津贴、一次性伤残补助金等，具体项目与工伤保险待遇相同，但全部费用由用人单位支付。

3. 未签订劳动合同的双倍工资赔偿

   • 法律依据：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 适用条件：若厨师与用人单位未签订书面劳动合同，且受伤时已工作超过一个月，则厨师有权要求用人单位支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。
   • 计算方式：双倍工资差额的计算基数通常为厨师的实际工资，计算期间为自用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日，但最长不超过十一个月。

行动建议：

• 厨师应尽快要求用人单位为其申请工伤认定，若用人单位拒绝或拖延，厨师或其近亲属可自行向社会保险行政部门提出申请。
• 同时，厨师可收集与用人单位存在劳动关系的证据（如工作证、工资条、同事证言等），以备后续维权之需。
• 若用人单位未缴纳工伤保险或未签订劳动合同，厨师在维权过程中可一并主张相关权益。

温馨提示：法律程序可能较为复杂，建议厨师在维权过程中寻求专业法律帮助，以确保自身权益得到充分保障。如有任何疑问或需要进一步的法律指导，请随时向我咨询。