不予立案决定后提供的新证据，在符合法定条件的情况下是有效的，并可能成为推动案件重新立案或进一步审查的关键。以下是对此问题的详细分析：

一、不予立案决定的基本性质

不予立案决定是公安机关、人民检察院或人民法院在初步审查案件材料后，认为不符合立案条件而作出的决定。这一决定并非终局性裁决，而是基于当前证据和事实的初步判断。

二、新证据的有效性及作用

1. 新证据的有效性：

   • 新证据若是在不予立案决定作出后发现的，且该证据与案件事实直接相关，能够证明案件存在犯罪事实或需要追究刑事责任，则该新证据是有效的。
   • 新证据的有效性不因其发现时间晚于不予立案决定而受影响，关键在于其能否证明案件事实。

2. 新证据的作用：

   • 推动重新立案：若新证据足以改变原先不予立案的决定，即证明案件存在犯罪事实且需要追究刑事责任，那么公安机关、人民检察院或人民法院应当重新审查案件，并可能作出立案决定。
   • 作为进一步审查的依据：即使新证据不足以直接推动重新立案，它也可能作为进一步审查案件的依据，为后续的调查、侦查工作提供线索和方向。

三、新证据提交后的法律程序

1. 提交新证据：当事人或相关权利人应在发现新证据后，及时向作出不予立案决定的机关提交。提交时，应说明新证据的来源、内容及其与案件事实的关联性。

2. 重新审查：收到新证据后，作出不予立案决定的机关应重新审查案件。审查过程中，应充分考虑新证据对案件事实的影响，以及是否满足立案条件。

3. 作出决定：根据重新审查的结果，作出不予立案决定的机关应作出相应的决定。若新证据足以证明案件存在犯罪事实且需要追究刑事责任，则应作出立案决定；否则，应维持原不予立案决定，并说明理由。

四、法律建议

1. 及时提交新证据：一旦发现新证据，当事人或相关权利人应及时向作出不予立案决定的机关提交，以免错过推动案件重新立案的时机。

2. 确保新证据的有效性：在提交新证据前，应确保其真实、合法且与案件事实直接相关。无效或无关的证据不会对案件产生实质性影响。

3. 寻求法律帮助：若对新证据的提交、审查或后续法律程序存在疑问，当事人或相关权利人可寻求专业律师的法律帮助，以确保自身权益得到妥善维护。

如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业、全面的法律服务。