公司一般不能直接通过诉讼要求员工赔偿因工作失职导致的行政罚款，但可根据具体情况和内部规定追究员工责任。以下是对此问题的详细分析：
一、法律原则与规定
劳动关系中的责任划分：
- 在劳动关系中，员工因工作失职给公司造成损失的，公司通常不能直接要求员工赔偿全部损失，特别是当损失是由行政罚款等形式体现时。这是因为行政罚款是针对公司的违法行为或违规行为作出的处罚，其直接责任主体是公司，而非员工个人。
员工责任的法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规，员工因故意或重大过失给公司造成损失的，公司可以要求员工承担赔偿责任。但这里的“损失”通常指的是直接的经济损失，如财产损失、业务损失等，并不直接包括行政罚款。
二、公司追究员工责任的可能途径
内部规章制度：
- 公司可以在内部规章制度中明确规定，员工因工作失职导致公司被行政罚款的，公司有权根据情节轻重对员工进行处罚，包括但不限于警告、罚款、降职、解雇等。但需要注意的是，这些处罚必须符合法律法规的规定，不能侵犯员工的合法权益。
劳动合同约定：
- 如果劳动合同中有明确约定，员工因工作失职导致公司被行政罚款的，需要承担一定的赔偿责任，那么公司可以根据合同约定追究员工的责任。但同样需要注意的是，这种约定必须合法合理，不能违反法律法规的强制性规定。
三、实际操作中的注意事项
证据收集：
- 如果公司打算追究员工的责任，必须首先收集充分的证据证明员工的工作失职与行政罚款之间存在直接的因果关系。这包括但不限于工作记录、监控录像、证人证言等。
合理追责：
- 公司在追究员工责任时，必须遵循合理、公正、透明的原则。不能因为一次工作失职就过度追究员工的责任，甚至解雇员工。这可能会引发劳动争议，给公司带来不必要的法律风险。
法律程序：
- 如果公司决定追究员工的责任，必须按照法律规定的程序进行。这包括与员工进行协商、调解、仲裁或诉讼等。在处理过程中，公司必须尊重员工的合法权益，不能采取非法手段进行追责。
四、建议与结论
- 建议：对于因员工工作失职导致公司被行政罚款的情况，公司应首先通过内部规章制度或劳动合同约定来明确员工的责任和义务。同时，公司应加强员工培训和管理，提高员工的工作责任心和业务水平，减少类似事件的发生。如果确实需要追究员工的责任，公司应依法进行，并遵循合理、公正、透明的原则。
- 结论：公司不能直接通过诉讼要求员工赔偿因工作失职导致的行政罚款。但公司可以根据内部规章制度或劳动合同约定追究员工的责任，并采取相应的处罚措施。在处理过程中，公司必须遵循法律法规的规定，尊重员工的合法权益。