核心结论：雇员受伤后治疗终结出院但随后死亡的情况下，赔偿责任需结合死亡原因、因果关系及法律关系综合判定，具体分为以下几种情形：
1. 死亡与原受伤存在直接因果关系
- 法律逻辑：若死亡结果系原受伤未治愈、并发症或医疗事故导致（如术后感染、器官衰竭等），且医学证明死亡与工伤存在直接关联，则雇主需承担工伤赔偿责任。
- 法律依据：根据《工伤保险条例》第15条，职工在工作时间和工作岗位突发疾病死亡，或在48小时内经抢救无效死亡的，视同工伤；若超出48小时但死亡与工伤直接相关，仍可能被认定为工伤。
- 赔偿范围：包括医疗费、丧葬补助金、供养亲属抚恤金、一次性工亡补助金等（具体标准按统筹地区上年度职工月平均工资计算）。
2. 死亡与原受伤无直接因果关系
- 法律逻辑：若死亡系其他独立原因导致（如自杀、他杀、突发疾病等），且与原工伤无关，则雇主通常不承担工伤赔偿责任。
- 例外情形：若雇主存在过错（如未提供安全工作环境导致雇员受伤，间接引发心理问题致死），可能需承担部分侵权责任，需结合具体过错程度判定。
3. 第三人侵权导致死亡
- 法律逻辑：若死亡系第三人行为（如交通事故、故意伤害）导致，雇员或其家属可同时主张工伤赔偿和侵权赔偿（即“双赔”），但医疗费等实际支出部分不得重复获赔。
- 法律依据：根据《社会保险法》第42条及司法实践，工伤与第三人侵权竞合时，除医疗费外，其他赔偿项目（如残疾赔偿金、死亡赔偿金）可并行主张。
4. 雇主未缴纳工伤保险
- 法律逻辑：若雇主未依法缴纳工伤保险，所有工伤赔偿项目均由雇主自行承担，包括本应由工伤保险基金支付的部分。
- 法律依据：根据《工伤保险条例》第62条，雇主未参保的，由劳动保障行政部门责令补缴，并自欠缴之日起按日加收滞纳金；逾期不缴的，处欠缴数额1倍以上3倍以下罚款。
实务建议
- 及时固定证据：保存医疗记录、死亡证明、因果关系鉴定报告等关键材料。
- 申请工伤认定：自事故发生或死亡之日起1年内，向社保行政部门提交工伤认定申请。
- 协商或诉讼：根据责任认定结果，与雇主协商赔偿；协商不成的，可申请劳动仲裁或提起民事诉讼。
提示：具体案件需结合雇员受伤原因、死亡时间间隔、医疗过程等细节综合判定，建议提供更多信息以便进一步分析。