结论前置：
- 一般情况下，您无需承担法律责任。因为您仅工作了一天且未签订劳动合同，双方尚未形成稳定的劳动关系。
- 但需注意，若存在特殊约定或您给学校造成了实际损失，可能需承担相应责任。不过，从您描述的情况来看，这种可能性较小。
详细分析：
首先，从劳动法的角度来看，您与民办学校之间并未签订劳动合同，且仅工作了一天便离职。在这种情况下，双方实际上并未形成稳定的劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同是劳动者与用人单位确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。由于您并未与学校签订劳动合同，因此您与学校之间的劳动关系并未正式确立。
其次，关于学校追究您的责任，这通常需要基于一定的法律依据。在您的情况下，由于并未签订劳动合同且工作时间极短，学校很难找到明确的法律依据来追究您的责任。除非您在离职过程中给学校造成了实际的损失，或者您与学校之间有特殊的约定（如试用期内的责任条款等），否则学校通常无法追究您的法律责任。
可能的情况与建议：
若学校无理追究：
- 如果学校无理地要求您承担责任，您可以首先与学校进行沟通，明确告知您并未与学校签订劳动合同，且工作时间极短，因此无需承担责任。
- 如果学校坚持追究，您可以考虑向当地的劳动监察部门投诉，或者寻求法律援助来维护自己的合法权益。
若存在特殊约定或实际损失：
- 如果您与学校之间有特殊的约定（如试用期内的责任条款等），或者您在离职过程中给学校造成了实际的损失，那么您可能需要承担相应的责任。
- 在这种情况下，建议您与学校进行协商，看是否能够达成一个双方都能接受的解决方案。如果协商无果，您可以考虑通过法律途径来解决争议。
后续行动建议：
- 在未来的工作中，建议您在入职前与用人单位明确签订劳动合同，并仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到保障。
- 如果您在离职过程中遇到任何问题或争议，建议您及时咨询专业律师或相关机构，以便更好地维护自己的合法权益。
最后，需要强调的是，虽然您在当前情况下可能无需承担法律责任，但为了避免不必要的纠纷和麻烦，建议您在未来的工作中更加谨慎和注意。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。