结论：五十一岁的女员工被辞退后能否拿到经济补偿金，需根据其是否达到法定退休年龄并开始享受基本养老保险待遇来具体判断。

分析：

1. 若女员工已达法定退休年龄并开始享受基本养老保险待遇：

   • 根据相关法律规定，此时女员工与单位的劳动合同依法终止。
   • 在这种情况下，单位辞退女员工通常无需支付经济补偿金。

2. 若女员工未达法定退休年龄或虽达年龄但未享受基本养老保险待遇：

   • 如果单位无正当理由辞退女员工，那么单位需要按照法律规定支付经济补偿金。
   • 经济补偿金的标准通常与女员工的工作年限和工资水平相关。具体来说，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。
   • 如果单位是违法辞退女员工，那么单位应支付的赔偿金是经济补偿金的两倍。

举例：

• 假设女员工在单位工作了八年，月工资为5000元，且未达法定退休年龄或未享受基本养老保险待遇。
  • 如果单位是合法辞退（但需有正当理由，如严重违反单位规章制度等），则单位需支付的经济补偿金为：8年 × 5000元/年 = 40000元。
  • 如果单位是违法辞退，则单位需支付的赔偿金为：40000元 × 2 = 80000元。

建议：

• 女员工应首先确认自己是否已达到法定退休年龄并开始享受基本养老保险待遇。
• 如果未达到或未享受，且认为单位是违法辞退，女员工可以与单位协商要求支付经济补偿金或赔偿金。
• 如果协商无果，女员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。

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