劳动者完全有权提起劳动仲裁。针对您提出的“单位不同意续签无固定期限劳动合同，也不解除劳动合同，劳动者是否可以提起仲裁”的问题，以下是我的详细分析：
一、法律背景与依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，无固定期限劳动合同是劳动者与用人单位之间约定无确定终止时间的劳动合同。当用人单位违背法律规定，不予续签无固定期限劳动合同时，这属于违法行为。劳动者依法享有要求用人单位继续履行该劳动合同的权利，或者要求用人单位按照法律规定支付相应的经济补偿，即赔偿金。
二、劳动者的权利与维权途径
要求继续履行合同：
- 劳动者有权要求用人单位继续履行无固定期限劳动合同。若用人单位拒绝，劳动者可以通过法律途径来维护自己的权益。
主张经济补偿：
- 若用人单位不同意续签，劳动者可以主张经济补偿。经济补偿的标准通常按照劳动者在本单位工作的年限来计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
提起劳动仲裁：
- 劳动者可以直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付违法终止劳动合同的赔偿金，标准为经济补偿的二倍。在申请仲裁时，劳动者需要提交书面仲裁申请，并明确仲裁请求、事实、理由以及证据和证据来源。
三、维权过程中的注意事项
保留证据：
- 劳动者应保留好与单位存在劳动关系的证据，如劳动合同、工资条、工作证等，以便在维权时使用。这些证据将有助于证明劳动者与用人单位之间的劳动关系以及工作年限等情况。
注意仲裁时效：
- 劳动者在维权时需要注意仲裁时效的问题。根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间通常为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应在法定时效内提起仲裁，以保障自己的合法权益。
四、可能的法律后果
若用人单位拒绝续签无固定期限劳动合同，且未依法支付经济补偿或赔偿金，将可能面临以下法律后果：
被责令继续履行合同：
- 劳动争议仲裁委员会或法院可能责令用人单位继续履行无固定期限劳动合同。
支付经济补偿或赔偿金：
- 用人单位需按照法律规定支付经济补偿或赔偿金。若被认定违法解除劳动合同，用人单位应依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
面临行政处罚：
- 用人单位还可能因违反劳动法律法规而面临劳动行政部门的行政处罚。
建议：面对单位不同意续签无固定期限劳动合同的情况，劳动者应首先与用人单位进行沟通，明确对方做出此决定的依据。若经过充分交流仍无法达成共识，劳动者应收集和整理相关证据材料，并及时向劳动争议仲裁委员会申请仲裁以维护自己的合法权益。在维权过程中，劳动者可以寻求专业律师的帮助以确保自己的权益得到充分保障。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。