教师私刻公章是否会被开除，需视具体情况及学校规定而定，但私刻公章行为本身严重违法，很可能导致开除等严厉处分。以下从不同角度为您详细分析：
一、私刻公章行为的法律性质
私刻公章，即未经授权擅自刻制并使用公章，该行为违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》以及《中华人民共和国刑法》的相关规定。具体来说：
治安管理处罚：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第五十二条，伪造、变造或者买卖国家机关、人民团体、企业、事业单位或者其他组织的公文、证件、证明文件、印章的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处一千元以下罚款；情节较轻的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。
刑事处罚：若私刻公章行为情节严重，如用于诈骗、伪造国家机关公文等犯罪活动，则可能构成《中华人民共和国刑法》中的伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章罪，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金。
二、学校对教师私刻公章行为的处理
对于教师私刻公章的行为，学校通常会依据内部规章制度进行严肃处理。这些规章制度往往明确规定了教师不得从事违法违纪行为，包括但不限于私刻公章。一旦发现教师有此类行为，学校可能会采取以下措施：
纪律处分：根据学校规定，给予教师警告、记过、降级、撤职等纪律处分。
开除处理：对于情节严重、影响恶劣的私刻公章行为，学校有权依据相关规定给予教师开除处分。开除是学校对教师最严厉的处分方式，意味着教师将失去在该校的工作机会。
三、实际案例与影响
在实际操作中，已有教师因私刻公章被学校开除的案例。这些案例表明，学校对教师私刻公章行为持零容忍态度，一旦发现将严肃处理。此外，私刻公章行为还可能对教师的职业生涯产生长远影响，如影响其未来就业、职称评定等。
四、建议与措施
遵守法律法规：教师应严格遵守国家法律法规和学校规章制度，不得从事任何违法违纪行为。
加强法律意识：学校应加强对教师的法律教育和培训，提高教师的法律意识和风险防范能力。
完善规章制度：学校应完善内部规章制度，明确教师不得从事的行为及相应处分措施，确保有章可循、有据可查。
总结来看，教师私刻公章行为严重违法且违反学校规定，很可能导致开除等严厉处分。因此，我建议您或任何教师都应严格遵守法律法规和学校规章制度，切勿触碰法律红线。如有任何法律问题或疑虑，请直接向我咨询。