结论：针对您提出的“停薪留职期满超过31年，事业单位始终未与职工结束劳动关系，单位应该负什么责”的问题，单位可能需承担的责任主要包括继续履行劳动关系相关义务、支付工资或生活费、补缴社会保险费用以及可能的赔偿损失责任。以下是对此问题的详细分析：
一、继续履行劳动关系相关义务
劳动关系存续：停薪留职期满后，若事业单位未与职工办理终止劳动关系的手续，且职工也未提出解除劳动关系，则双方劳动关系在法律上可能仍被视为存续。这意味着事业单位需继续承担作为用人单位的义务，如提供劳动条件、保障劳动安全等。
合同与政策依据：具体责任需依据停薪留职协议的内容以及当时的相关政策来确定。若协议或政策中明确规定了停薪留职期满后的处理方式，事业单位应遵守这些规定。
二、支付工资或生活费
工资支付义务：在劳动关系存续期间，事业单位通常有义务支付职工工资。然而，在停薪留职期间，职工未提供劳动，因此单位可能无需支付全额工资。但期满后，若职工要求恢复工作或单位未明确解除劳动关系，单位可能需支付一定的生活费或工资。
生活费标准：生活费的具体标准可能因地区、单位政策等因素而异。一般来说，它应足以保障职工的基本生活需求。
三、补缴社会保险费用
社保缴纳义务：在劳动关系存续期间，事业单位有义务为职工缴纳社会保险费用，包括养老保险、医疗保险等。若单位未缴纳，则需承担补缴的责任。
补缴流程与责任：补缴社会保险费用需按照当地社保机构的规定进行。单位可能需支付滞纳金或面临其他处罚。
四、赔偿损失责任
损失认定：若因事业单位未及时与职工办理终止劳动关系手续，导致职工遭受经济损失（如无法及时找到新工作、社保断缴等），单位可能需承担赔偿责任。
赔偿范围与标准：赔偿范围通常包括职工因单位行为而遭受的直接经济损失。赔偿标准可能因地区、案件具体情况等因素而异，需通过法律程序来确定。
五、建议与行动
与单位协商：首先，建议职工与事业单位进行协商，明确双方的权利义务，并尝试达成和解。
向劳动监察部门投诉：若协商无果，职工可以向当地劳动监察部门投诉，要求单位履行相关义务或承担责任。
申请劳动仲裁或提起诉讼：在投诉后仍未解决问题的情况下，职工可以向当地劳动仲裁委员会提起劳动仲裁，或依法向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
法律依据：
行动建议：
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