若犯罪嫌疑人主动供述在外地犯罪，司法机关会按以下程序处理：
管辖权确认
根据《刑事诉讼法》第25条，刑事案件由犯罪地（包括犯罪行为发生地和结果发生地）的司法机关管辖。若犯罪行为发生在外地，外地公安机关有权立案侦查，但若本地司法机关已立案，可通过指定管辖程序协调处理。
例如：嫌疑人A在B市实施诈骗，但居住在C市，B市公安机关可立案；若C市已因其他罪名立案，可通过上级机关指定由B市或C市管辖。
供述的法律效力
犯罪嫌疑人主动供述外地犯罪的，属于“自首”或“坦白”情节（根据《刑法》第67条），可依法从轻或减轻处罚。但需注意：
- 自首要求：需同时满足“自动投案”和“如实供述”两个条件。若嫌疑人已被采取强制措施（如拘留），再供述其他罪行的，仅构成“坦白”，不构成自首。
- 供述内容：需具体、完整，能证明犯罪事实。若供述模糊或与证据矛盾，可能影响量刑效果。
跨地区协作流程
- 通报与移交：本地司法机关发现犯罪行为发生在外地的，应立即通报外地公安机关，并移交相关证据材料。
- 联合侦查：重大案件中，两地公安机关可成立联合专案组，共享信息、协同取证。
- 指定管辖：若管辖权存在争议，由共同上级公安机关指定管辖，避免程序冲突。
对嫌疑人的影响
- 量刑优势：主动供述外地犯罪可体现悔罪态度，法院在量刑时会酌情从宽。
- 程序风险：若供述不实或隐瞒部分罪行，可能被认定为“不如实供述”，丧失从轻机会，甚至构成“累犯”（若前后罪均被判刑）。
- 强制措施调整：供述外地犯罪后，司法机关可能根据社会危险性变更强制措施（如从取保候审转为逮捕）。
实务建议：
- 嫌疑人应如实、完整供述所有犯罪事实，避免因隐瞒导致量刑加重。
- 家属可委托律师协助与司法机关沟通，确保供述程序合法，争取从宽处理。
- 若对管辖权有异议，可通过律师向办案机关提出，或申请上级机关指定管辖。
如有具体案件细节需分析，可直接向我提问，我会结合案情进一步解答。